Evaluación del límite de una suma mediante integración

Question

Uno de los primeros resultados que aprendemos en la integral definida es que si $f(x)$ es integrable de Riemann en $(0,1)$ entonces tenemos $\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f\Big(\dfrac{i}{n}\Big) = \int_{0}^{1}f(x)dx$ .

Estuve jugando con esto para ver si se puede generalizar y encontré lo siguiente. Podemos reescribir el resultado anterior como

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+1+\ldots\text{$ n $-times}}\sum_{i=1}^{n}1\times f\Big(\frac{1+1+\ldots\text{$ i $-times}}{1+1+\ldots\text{$ n $-times}}\Big) = \int_{0}^{1}f(x)dx. $$

El LHS se puede escribir en la forma general que se da a continuación y nos preguntamos para qué secuencia $a_i$ ¿se cumple lo siguiente?

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}\sum_{i=1}^{n}a_i f\Big(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_i}{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}\Big) =\int_{0}^{1}f(x)dx. $$

Trivialmente, esto es válido para $a_i = c$ donde $c$ es una constante no nula y el resultado anterior es el caso cuando $c=1$ . También he observado que esto es válido para la secuencia de números naturales $a_i = i$ desde

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{2}{n^2+n}\sum_{i=1}^{n}i f\Big(\frac{i^2+i}{n^2+n}\Big) =\int_{0}^{1}f(x)dx. $$

Experimentalmente, esto también es válido para la secuencia de números primos $a_i = p_n$ y también para la secuencia de números compuestos $c_n$ .

Pregunta : ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para $a_i$ para que se cumpla la relación anterior?

Pregunta relacionada

Answer 1

Este es un criterio torpe:

Propuesta. Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia de números positivos y escriba $s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$ para las sumas parciales. Entonces las siguientes son equivalentes:

1. Para cualquier Riemann-integrable $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ , $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{s_i}{s_n}\right)\frac{a_i}{s_n} = \int_{0}^{1}f(x) \, \mathrm{d}x. $$

2. $\max\{a_1,\cdots,a_n\}/s_n \to 0$ como $n\to\infty$ .

Esta afirmación es un poco tonta, ya que $\max\{a_1,\cdots,a_n\}/s_n$ representa la longitud del mayor subintervalo de la partición en el esquema de OP. Entonces (2) simplemente requiere que la partición se haga más fina a medida que $n$ crece.

Prueba. Escriba $\|\Pi\|$ para el tamaño de malla de la partición $\Pi$ . Si $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ es Riemann-integrable y $\Pi_n$ es una secuencia de particiones de $[0, 1]$ con $\|\Pi_n\|\to 0$ entonces la suma de Riemann asociada converge a la integral $\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$ como $n\to\infty$ .

• $(2)\Rightarrow(1)$ : Si elegimos $\Pi_n = \{s_i/s_n\}_{i=0}^{n}$ entonces $\|\Pi_n\| = \max\{a_1,\cdots,a_n\}/s_n$ por lo que se deduce (1).

• $(1)\Rightarrow(2)$ : Demostramos la contraposición. Supongamos que (2) no se cumple. Entonces podemos encontrar un intervalo $[a, b] \subseteq [0, 1]$ con $a < b$ y una subsecuencia $(n_k)$ tal que $[a, b]$ siempre está contenido en uno de los subintervalos de $\Pi_{n_k}$ .

  En efecto, la negación de (2) indica que $\limsup_{n\to\infty} \|\Pi_n\| > 0$ por lo que al pasar a una subsecuencia, podemos suponer que $\|\Pi_j\| \geq \epsilon > 0$ es válida para todos los $j$ para algunos $\epsilon > 0$ . A continuación, para cada $j$ , elija un subintervalo $I_j$ de $\Pi_j$ con una longitud $> \epsilon$ . Entonces podemos apelar a la compacidad de $[0, 1]$ para extraer otra subsecuencia $\{\Pi_k\}$ para lo cual $\bigcap_k I_k$ es un intervalo de longitud positiva. (Por ejemplo, elija otra subsecuencia tal que los puntos finales de la izquierda de $I_k$ ).

  Una vez que tales $[a, b]$ y $\Pi_{n_k}$ se eligen, simplemente se elige $f$ como una función de Riemann-integrable que se apoya en $(a, b)$ y $\int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \neq 0$ . Entonces, desde $\sum_{i=1}^{n_k} f(s_i/s_{n_k}) (a_i/s_{n_k}) = 0$ sabemos que esta suma de Riemann no converge a la integral de $f$ .