Estimación de la integral $\int_0^1 (1-t^2)^{-1/2} e^{-nt} \,dt$ para grandes $n$ .

Question

Me gustaría encontrar el comportamiento asintótico de la integral

$$\int_0^1 (1-t^2)^{-1/2} e^{-nt} \,dt$$

para grandes $n$ . Parece razonablemente obvio que la integral llega a cero. Al menos está acotada; la integral está entre $0$ y

$$\int_0^1 (1-t^2)^{-1/2} \,dt = \pi/2.$$

Apenas estoy aprendiendo los métodos asintóticos y me cuesta incluso acercarme a esto. Pensé que el método de Laplace podría ser apropiado pero sólo el caso de $\int_{-\infty}^{\infty}$ se discute en los libros que tengo.

Se agradecería mucho que los pasos fueran completos y detallados. Mi objetivo es tratar de estimar una integral un poco más complicada.

Answer 1

Para los grandes $n$ la integral está dominada en los puntos donde $\text{Re} t$ es el más pequeño. En su caso esto es en $t=0$ . Por lo tanto, para obtener la expansión asintótica correcta (hasta la precisión exponencial), es necesario expandir el integrando alrededor de $t=0$ : $$\int_0^1 \!dt\,\frac{e^{-nt}}{\sqrt{1-t^2}} = \int_0^1 \!dt\,e^{-nt} \left[ 1 + \frac{t^2}2 + O(t^4) \right].$$ El siguiente paso es observar que sólo introducimos pequeños errores exponenciales (en $e^{-n}$ ) extendiendo la integral hasta $t=\infty$ . Así, tenemos $$\int_0^1 \!dt\,\frac{e^{-nt}}{\sqrt{1-t^2}} \sim \int_0^\infty \!dt\,e^{-nt} \left[ 1 + \frac{t^2}2 + O(t^4)\right]= n^{-1} + n^{-3} + O(n^{-5}). $$

Esta expansión asintótica (porque sólo implica potencias enteras en $n$ ) se podría haber obtenido también por integración sucesiva (integrando $e^{-nt}$ y diferenciando el resto).

Mucho más interesante es la expansión asintótica para $n\to-\infty$ ...