Me encontré con una extraña propiedad de la función $f(x)=\dfrac{1}{(1-x)}$
Observe lo siguiente:
$$f(x) = \frac{1}{(1-x)}, \quad\quad f^2(x) = f(f(x)) = \frac{(x-1)}{x}, \quad\quad f^3(x) = f(f(f(x))) = x$$ lo que implica, en última instancia, que $f^2(x)=f^{-1}(x)$ .
(Mini pregunta: ¿Conoce alguna otra función $g(x)$ donde $g \circ (g \circ g(x)) = g^3(x)=x$ aparte de $f(x)$ y aparte del caso trivial en el que $g(x)=x$ ? Me sorprendió bastante cuando noté este patrón con $f(x)$ .)
De todos modos, nota para cada $x$ existe un conjunto de tripletas generadas al aplicar repetidamente la función $f(x)$ .
En concreto $\langle x\rangle =\{x,f(x),f^{-1}(x)\}=\{x,\frac{1}{(1-x)},\frac{(x-1)}{x}\}$
Como ejemplo ilustrativo, veamos $x=2$ Así que entonces $\langle 2\rangle=\{2, -1, \frac{1}{2}\}$ . Veamos ahora que esto puede pensarse como 3 puntos en la gráfica de la función $f(x)$ , donde
Punto $A$ : $x \mapsto f(x)$
Punto $B$ : $f(x) \mapsto f^{2}(x)=f^{-1}(x)$
Punto $C$ : $f^{-1}(x) \mapsto x$
Explícitamente, sigue utilizando $x=2$ como ejemplo:
Punto $A$ : $(x, f(x)) = (2,-1)$
Punto $B$ : $(f(x), f^{-1}(x)) = (-1,\frac{1}{2})$
Punto $C$ : $(f^{-1}(x),x) = (\frac{1}{2},2)$
Bien, ahora mi pregunta.
Dado que 3 puntos definen de forma única un círculo, me gustaría saber si podemos derivar una función de forma cerrada $r(x)$ que calcula el radio del círculo $R$ donde el círculo $R$ es el círculo definido únicamente por los 3 puntos $A$ , $B$ y $C$ generado por $\langle x\rangle$ .
Continuando con el ejemplo en el que $x=2$ , círculo $R$ tiene centro en Point $R=(\frac{3}{4},\frac{1}{4})$ (es decir, el circuncentro de los puntos $A$ , $B$ y $C$ ). El radio del círculo $R$ es entonces simplemente:
$$|\overline{AR}|=\sqrt{{\left(2-\frac{3}{4}\right)}^2+{\left(-1-\frac{1}{4}\right)}^2}= \frac{5\sqrt{2}}{4}.$$
Así que evaluando $r(x)$ en $x=2$ nos da $r(2)=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\approx1.76777$ .
Otro buen ejemplo a tener en cuenta es $x=\phi$ , donde $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.61803$ (la proporción áurea). Algunas características geniales que hacen $\phi$ únicos entre todos los números son:
$$\phi-1=\frac{1}{\phi}\quad\text{and}\quad \phi+1=\phi^2$$
Puedes calcularlo por tu cuenta, pero aplicando $f(x)$ en $x=\phi$ repetidamente resulta en $\langle\phi\rangle=\{\phi,-\phi,\frac{1}{\phi^{2}}\}$ .
Con la ayuda de Wolfram Alpha, pude calcular $r(\phi)\approx1.93649$
(Circuncentro: https://tinyurl.com/y59trfn5 | Radio: https://tinyurl.com/y6jxs9sn )
El cálculo del circuncentro parece ser el mayor problema, pero tal vez haya una forma más limpia con la ayuda del álgebra lineal. He leído que hay una manera de calcular la fórmula de un círculo usando matrices y determinantes, pero eso parece demasiado complejo para esto. Tal vez los círculos y los triángulos no sean la forma de enfocar esto en absoluto - ¡estaría encantado de aceptar sugerencias y escuchar sus opiniones!
Sólo algunos últimos pensamientos conceptuales...
1) $r(x)$ debe ser siempre positivo (es decir, no hay $x$ donde $r(x)$ es $0$ o negativo), y por lo tanto, en algún lugar golpeó algún valor mínimo positivo para $r(x)$ (asumiendo/implicando que $r(x)$ es suave y diferenciable en el intervalo $x \in (-\infty,1)\cup(1,+\infty)$ ).
2) $\lim\limits_{x \to 1^-}r(x)=+\infty$ y $\lim\limits_{x \to 1^+}r(x)=+\infty$
3) $\lim\limits_{x \to -\infty}r(x)=+\infty$ y $\lim\limits_{x \to +\infty}r(x)=+\infty$
4) $r(x)$ es NO simétrico alrededor de $x=1$ . Sólo como una comprobación rápida, $r(3)\approx2.12459$ y $r(-1)\approx1.76777$
5) $r(x)$ es realmente MUY RUIDO como función, ya que para cualquier valor 1 de $r(x)$ hay al menos 3 variables únicas que dan lugar a ese valor (es decir, todas $x \in \langle x\rangle$ )(por ejemplo $r(2)=r(-1)=r(\frac{1}{2})\approx1.76777$ )
Este último punto me hace pensar que no hay una verdadera función de forma cerrada para $r(x)$ . En cualquier caso, tendría mucha curiosidad por saber cuál es el radio mínimo... (colocando \$1 en $r(x)$ para $x \in \langle\frac{\pi^2}{4}\rangle$ !)
