¿Por qué la Tierra sigue una trayectoria elíptica en lugar de una parabólica?

Question

Me enseñaron que cuando la aceleración que experimenta un cuerpo es constante, que el cuerpo sigue una curva parabólica. Esto parece lógico, ya que la aceleración constante significa que la velocidad es lineal y posición de que es cuadrática. Esto es lo que he aprendido de proyectiles: los Cuerpos son lanzados con una velocidad inicial cerca de la superficie de la Tierra, experimenta una aceleración constante y el resultado es una curva parabólica.

Ahora que no se aplica a la órbita de la Tierra. La fuerza de la gravedad puede ser pensado como una constante desde la distancia de la Tierra al Sol puede ser pensado como una constante, que por la Segunda Ley de Newton significa que la aceleración de la Tierra es también constante. No se que significa que la Tierra sólo debe seguir una trayectoria parabólica?

Hay una prueba matemática (similar a la que he mencionado sobre los proyectiles), dando la órbita elíptica como resultado?

Mi pregunta es, en una palabra, ¿por qué no puede la Tierra ser tratado como un proyectil? Y si puede, entonces, ¿por qué no se comportan como uno?

Answer 1

Ahora que no es de aplicación en la órbita de la Tierra. La fuerza de la gravedad puede ser pensado como una constante desde la distancia desde la Tierra al Sol puede ser pensado como una constante demasiado

Estás en lo correcto de que la fuerza o magnitud de el sol del campo gravitatorio es muy similar en toda la longitud de la órbita de la tierra, pero la dirección es no. En un campo gravitacional uniforme, la dirección sería el mismo en todas partes.

Sobre la ruta de acceso de la órbita de la tierra, el sol del campo gravitatorio de puntos en diferentes direcciones. Esta diferencia significativa desde un campo uniforme significa que la órbita de la tierra está muy lejos de una parábola.

Answer 2

La fuerza de la gravedad puede ser pensado como una constante desde la distancia desde la Tierra al Sol puede ser pensado como una constante, que por la segunda Ley de Newton significa que la aceleración de la Tierra es también constante. No se que significa que la Tierra sólo debe seguir una trayectoria parabólica ?

No, la fuerza gravitacional del Sol sobre la Tierra no es una constante, por dos razones:

• es el cambio de dirección todo el tiempo, es decir, es siempre hacia el Sol, como la Tierra (en el Sol del marco de referencia) gira alrededor de ella, y
• esto está cambiando a medida que la Tierra se acerca más y más lejos. Esto es debido a que la energía cinética de la Tierra debido a su movimiento orbital en el afelio no es lo suficientemente grande como para permitir que se mueva en una órbita circular de radio. Y su demasiado grande en el perihelio a moverse en una órbita circular del perihelio de radio. (Y en todas partes entre el vector de velocidad no es perpendicular al vector radial entre la Tierra y el Sol.)

Si la Tierra se movía parabolically alrededor del Sol, no sería en una órbita cerrada. Se pasa por el Sol de una vez y no volver nunca. Eso es porque en el fin de tener una órbita parabólica con Newtoniana de la gravedad, $$|\vec{F}|=\frac{Gm_Em_S}{r^2},$$ la energía cinética de la Tierra sería muy grandes para permanecer en órbita.

Hay una prueba matemática (similar a la que he mencionado sobre los proyectiles), dando la órbita elíptica como resultado ?

Sí, y se puede encontrar en varios lugares, por lo general en la universidad del estudiante de segundo nivel de la mecánica clásica (y aún ingeniería mecánica) libros. Ver libros por Symon, Marion, Beer & JOhnston, Barger & Olsson, Taylor, sólo para sugerir algunas. Se trata de una derivación que involucran el cálculo, y es demasiado largo detallar aquí.

Y, en realidad, un proyectil en la Tierra es una trayectoria elíptica, también, en todo el centro de (aproximadamente) de la Tierra. Nos aproximada a la de Newton de la gravedad como una magnitud constante, la constante de fuerza de la dirección de áreas pequeñas (como campos de fútbol), y obtener la forma parabólica, que en realidad es una buena aproximación de la corta trayectoria elíptica.

Answer 3

Los proyectiles' caminos no son en realidad parabólico cerca de la tierra. Una parábola no implica la constante de velocidad. Una parábola es de velocidad constante en una dirección y la aceleración en una dirección perpendicular.

En la pequeña escala de la mayoría de los problemas de balística, la tierra es mucho más grande que la trayectoria del proyectil. En tal escala, la tierra se puede aproximar como un avión. Mientras que la gravedad tira proyectiles hacia el centro de la tierra, y por lo tanto es una dirección que está cambiando para cualquier objeto en movimiento, esta dirección no cambia hacia abajo, de nuevo en escalas tan pequeñas. La aceleración es hacia abajo, no hay aceleración en todo, por lo que el resultado, para la aproximación, es parabólico. Si se observa la trayectoria de cerca y que fueron capaces de "caer"a través de la tierra, seguiría una trayectoria elíptica.

El real de la ecuación es:

$$\frac{1}{r}=c_0+c_1\sin{\theta}+c_2\cos{\theta}$$ where $r$ es la distancia desde el centro de la tierra.

La c son constantes, dependiendo de la masa de la tierra, el momento angular(una constante del movimiento), y la masa del proyectil.

$r$ es la distancia del proyectil desde el centro de la tierra. Theta es el mismo theta de coordenadas polares.

Vamos a: $L=mr^2\dot{\theta}$.

$L$ es el momento angular del proyectil sobre la tierra. $\dot{\theta}$ es la velocidad angular a lo largo de la trayectoria.

El momento angular es constante en el tiempo. Tomando los derivados de ambos lados le da información de la evolución en el tiempo del sistema.

Si configura el cero de coordenadas de su theta correctamente, puede suponer $c_1=0$.

reorganización:

$$r=\frac{1/c_0}{1+(c_2/c_0)\cos{\theta}}$$

Uno podría reconocer esto como una ecuación en coordenadas polares de una sección cónica con el origen del sistema de coordenadas en un foco.

Haciendo esto, $c_2/c_0$ determina la excentricidad de su trayectoria. Este parámetro indica la forma de los proyectiles ruta de acceso: la Excentricidad Orbital

Answer 4

Me enseñaron que cuando la aceleración que experimenta un cuerpo es constante, que el cuerpo sigue una curva parabólica

Esa última parte es malo.

En virtud central de la fuerza, el cuerpo va a seguir una sección cónica de algún tipo. Una parábola es un tipo de sección cónica. Una elipse es otra. Un círculo es otra.

Si usted sigue un círculo, una elipse o una parábola depende de las condiciones iniciales - el importe de la fuerza y la velocidad angular.

Pero de manera muy general, del cuerpo no siga una parábola, sino una cónica.

Answer 5

Aceleración de la gravedad actúa hacia el centro de la masa y sigue la ley del cuadrado inverso. Esto hará que todos los verdaderos cualquiera de las trayectorias elípticas o hiperbólicas (dependiendo del objeto de la velocidad relativa a la velocidad de escape del cuerpo que actúa sobre él).

Cuando examinamos el movimiento de los objetos cerca de la superficie de la Tierra y viajan a través de distancias cortas, la Tierra del centro de masa está muy lejos, para que la gravedad parece actuar de manera uniforme - caída de objetos a seguir caminos paralelos y la aceleración no cambia con la altura. Bajo estas condiciones, las trayectorias se parabólico. Pero estos son sólo aproximaciones debido a que las distancias sobre las que el movimiento es observado son tan pequeñas en relación a la distancia a la Tierra del centro de masa. En otras palabras, la fórmula cuadrática y movimiento parabólico tiene cuando se hacen suposiciones acerca de la dirección y la uniformidad del campo gravitacional, pero estos supuestos sólo son útiles en la pequeña escala (en relación a la gravedad de la fuente/distancia).

Movimiento de la tierra alrededor del Sol también podría ser aproximada como parabólico, pero la aproximación sólo sería válido para distancias cortas. Si usted se considera un cometa en un muy órbita elíptica alrededor del Sol, el segmento de su camino en o cerca de apoapsis podría ser aproximada como parabólico, pero es sólo una aproximación.

Del mismo modo, el movimiento de proyectiles "en el horizonte" simplemente no puede ser aproximada como una trayectoria parabólica. Por ejemplo: el acorazado cañones evolucionado hasta el punto en el que pudiera proyectiles de fuego a decenas de kilómetros. Dejando de lado aerodinámica/efectos de viento, un arco parabólico no es una representación adecuada de la shell de la ruta debido a la curvatura de la superficie de la Tierra y la diferencia en la dirección de "abajo" se convierte en significativo sobre la cáscara de la distancia de viaje.

Matemáticas/geometría de la perspectiva

Considere la posibilidad de que la elipse, la parábola y la hipérbola son todas las secciones cónicas distinguen el uno del otro por la excentricidad (el círculo es un caso especial de elipse con excentricidad cero). Las circunstancias de una determinada trayectoria problema de determinar la excentricidad y, por tanto, la adecuada cónica. En el caso de "diario" de la física, la distancia a la Tierra del baricentro se aproxima a infinito; esto establece la excentricidad a 1 y la trayectoria que toma la forma de una parábola. Para la "más allá del horizonte" problema, la distancia a la Tierra del baricentro no puede ser asumido infinito, por lo que la trayectoria que toma la forma de una elipse.