Función continua con infinitos ceros.

Question

Sea $f:[0;1]\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua. Deje que $Z$ denote el conjunto de ceros de $f$ .

Si $Z$ es finito, es fácil demostrar que $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left|\displaystyle\int_{0}^1\text{e}^{nx}f(x)\,\text{d}x\right|=+\infty$ .

¿Pero también es cierto si $f\ne0$ y $Z$ es infinito?

Answer 1

Este se inicia con una descripción de una respuesta y, a continuación, simulacros de abajo para los detalles. Esta pregunta es más interesante de lo que muchos.

A la pregunta original, la respuesta parece ser "no".

Uno puede construir, de manera inductiva, una secuencia de intervalos de $I_k=[a_k,a_{k+1}]$ (con $a_k$ , aumentando a $1$), y los valores de $f$ a $I_k$, y una secuencia de $n_k\to\infty$, por lo que el valor de $\int_0^1 \exp(n_kx)f(x)dx$ es bastante determinado por los valores de $f$ a $[0,a_k]=I_0\cup I_1\cup \cdots\cup I_{k-1}$ y no se ve afectado tanto por la posterior tinkerings de $f$ a $[a_{k},1]=I_{k}\cup\cdots$. Esto puede ser hecho de tal manera que $f$ es continua y $|f(x)|\le1-x$ para todos los $x$. Como EricWofsey comentarios, en efecto, uno puede elegir a$a_{k+1}$ tan grande (es decir, cerca de $1$) que $(1-a_{k+1})\exp(n_k)$ es tan pequeño como usted desea.

El resultado es una continua $f$ tal que $$\liminf_{k\to\infty}\quad (-1)^k \int_0^1 \exp(n_k x) f(x)dx = 1,$$ refutar la conjetura original.

En general la construcción de la que estoy describiendo es como el estándar de ejemplos de secuencias delimitadas sin Cesaro promedios. Saben, 10 seguido de 100 ceros que siguieron 1000 ceros seguidos por 10000...

Ahora algunos detalles. Me disculpo por la intrincada notación. Es posible que me haya cometido un error tipográfico en algún lugar. Es más que posible que no hay una manera más simple de organizar el cálculo o (mejor aún) de una manera más simple de ver el resultado.

Deje $\Lambda_\alpha(x)=\max(0,\alpha/2-|2x-(\alpha+1)|)$ ser el modelo lineal por tramos de la función cuya gráfica tiene un triangular isósceles pico centrado a $(1+\alpha)/2$, de anchura $\alpha/2$ y la altura de la $\alpha/2$. Tenga en cuenta que $\text{supp } \Lambda_\alpha = [(3\alpha+1)/4,(\alpha+3)/4]$, y que $|\Lambda_\alpha(x)|\le |1-x|$. La forma final de la $f$ será $$f(x)=\sum_{k\ge0} \epsilon_k (-1)^k \Lambda_{a_k}(x),$$ where the $\epsilon_k$ are in $[0,1]$. The function $f$ satisfies $|f(x)|\le|1-x|$ on $[0,1]$.

Construiremos $a_k, n_k, \epsilon_k$ inductiva.

En la etapa de $k$ le han especificado $f$ en el intervalo de $[0,a_k]$, y el paso inductivo ofrece una fórmula para $f$ en el intervalo de $I_k=[a_k,a_{k+1}]$, por lo tanto la ampliación de la definición de $f$ a $[0,a_{k+1}]$.

Empezar con $k=0$ e $a_0=0$. Deje $L>0$ ser una constante, tal como $L=1$.

En la fase inductiva $k$, eligió $n$ tan grande que $0<\epsilon_k<1$, donde $$\epsilon_k = \frac { L - (-1)^k\int_0^{a_k}f(x)e^{nx}dx}{\int_0^1\Lambda_{a_k}(x)e^{nx}dx},$$ y, si $k>0$, también se $n\ge1+n_{k-1}$. Esto es posible debido a que la integral en el denominador se tiene una mayor tasa de crecimiento exponencial (al menos $(3a_k+1)/4$) que en el numerador, que es en la mayoría de las $a_k$. Denotar la elegida $n$ por $n_k$. Por último, y este es el punto clave identificados por EricWofsey en un comentario, eligió a estar muy cerca de $1$, como en $$a_{k+1} = \max((a_k+3)/4, 1-\exp(-2n_k)).$$ Note $a_{k+1}<1$.

La restricción de $f$ a $I_k=[a_k,a_{k+1}]$ es $(-1)^k\epsilon_k\Lambda_{a_k}$.

Es fácil ver que $n_k\to\infty$ y que $a_k\to 1$. La comprobación de que $f$ es continua es la rutina.

Por construcción, $\int_0^{a_{k+1}}f(x)e^{n_kx}dx = (-1)^k L$ y esto difiere de $\int_0^1 f(x) e^{n_kx}dx$ por $\int_{a_{k+1}}^1 \exp(n_k)dx = O(\exp(-n_k))$.