¿Es$29$ el primer número primo de la forma$p^p+2$?

Question

He buscado por los números primos de la forma $p^p+2$, donde $p$ es perfecto para una variedad de $p \le 10^5$ en PARI/GP y se encontró que el 29 es el único primer de esta forma en este rango.

Preguntas:

$(1)$ Es $29$ la única flor de la forma $p^p+2$, donde $p$ es primo?

$(2)$ Si no es así, entonces hay un número finito de números primos de la forma $p^p+2$? Se puede demostrar/refutar esto?

Edit: Ya $p^p$ crece muy rápido y los primos de obtener más raro y se extienden más allá de los grandes números,

Suponemos que $29$ es la única flor de la forma $p^p+2$ donde $p$ es un primo.

Answer 1

Con pfgw, verifiqué $$p^p+2$$ for the primes from $ \ 3 \$ to $ \ 24 \ 001 \ $ El único primo ocurrió para $\ p=3\ $ Por lo tanto, si existe otro primo de esta forma, debe tener más de $\ 100\ 000\ $ dígitos

Answer 2

Algunos de trabajo, pero ninguna de las soluciones:

Tenga en cuenta que $p=2$ no funciona, y $p=3$ hace el trabajo. Ahora supongamos $p > 3$.

Supongamos $p \equiv 1 \pmod{3}$. A continuación, $p^p + 2 \equiv 1^p + 2 \equiv 0 \pmod{3}$, por lo que no es primo.

Por lo tanto, $p \equiv -1 \mod{3}$ e $p$ extraño por lo tanto $p \equiv -1 \mod{6}$. Esto es lo más lejos que podía ver. El uso de WolframAlpha para este caso los rendimientos de los números que no tienen muchos factores primos, y estos factores son diferentes y grandes, así que no veo ningún camino para el progreso de aquí.