Otra pregunta más de los nacionales de BdMO 2013:
En una clase, todos los chicos saben $r$ número de chicas y cada chica sabe $r$ Demuestre que hay el mismo número de chicos y de chicas [Asuma que la amistad es simétrica, es decir, si A conoce a B entonces B conoce a A].
Esta pregunta se planteó en la sección de Secundaria de los Nacionales.En la sección Junior,se planteó una pregunta similar pero más fácil.
En una clase, todos los chicos saben $3$ número de chicas y cada chica sabe $3$ Si hay 13 chicos, encuentra el número de chicas en la clase.
He resuelto esta pregunta observando que (i) Si hay 3 niños en la clase, el número de niñas también tiene que ser 3. (ii) Si hay 4 chicos, el número de chicas también es 4. Esto nos da la herramienta necesaria para resolver el problema.
$13$ chicos= $(3+3+3)+4$ chicos
Por cada 3 chicos, necesitamos 3 chicas[De (i)]. Por lo tanto,(3+3+3) chicos implica que hay $3+3+3=9$ De (ii), sabemos que si hay 4 niños, necesitamos 4 niñas en la clase.
Resumiendo, $(3+3+3)+4$ los chicos necesitan $(3+3+3)+4$ chicas, es decir, 13 chicas.
Sin embargo, no veo cómo voy a generalizar este problema. No importa, aquí está mi trabajo.
MI INTENTO: Una vez más, utilizamos los siguientes hechos:
(i) Si hay 3 niños en la clase, el número de niñas también debe ser 3. (ii)Si hay 4 chicos, el número de chicas necesario es también 4.
Así que si podemos reescribir $r$ en la forma $3k+4z$ hemos terminado.
Lema: Cada número entero $r\ge 3$ excepto el 5 que puede escribirse en la forma $3k+4z$ [k y z son enteros positivos, no ambos $0$ ]
PRUEBA: Un número mayor o igual a 3 es de la forma $3p$ , $3p+1$ , $3p+2$ para algún número entero positivo p.Tratamos los casos individualmente[debemos notar que 5 no puede ser expresado como una suma de múltiplos de 3 y 4.Para esto,consideramos $p\ge 2$ . Por lo tanto, consideramos los casos r=3,4,5 por separado y vemos que el número de chicos y chicas es efectivamente igual].
$3p$ : Si r=3p para algún número entero positivo p,entonces al conectar k=p y z=0 obtenemos
3p=3(p)+4(0)
y hemos terminado.
$3p+1$ : Conectando k=p-1 y z=1, obtenemos
3(p-1)+4=3p+1
$3p+2$ : Conectando k=p-2 y z=2, obtenemos
3(p-2)+4(2)=3p+2
y la prueba está completa.
Dado que r siempre puede escribirse en la forma $3k+4z$ ,
(1)El número de niñas necesarias para 3k niños es 3k[De (i)].
(2)El número de chicas necesario para 4z números de chicos es 4z[De (ii)].
Por lo tanto, el número total de chicas=3k+4z=r y ya está, ¿estoy en lo cierto?