Convertir una ecuación basada en raíces cuadradas

Question

Así que me preguntaba cómo convertir una ecuación de la forma $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}+...\sqrt{x_n}+k=0$ en una ecuación polinómica basado en cada una de las $x_i$.

Por ejemplo, si la ecuación se $$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+k=0$$, then subtracting $\sqrt{x_2}$ from each side and squaring yields:$$x_1+k^2+2k\sqrt{x_1}=x_2.$$ Esto puede ser arreglado a: $$2k\sqrt{x_1}=-x_1-k^2+x_2.$$ El cuadrado ambos lados se obtiene: $$4k^2x_1=x_1^2+k^4+x_2^2+2k^2x_1-2x_1x_2-2k^2x_2.$$ Reorganizar/simplificando se obtiene: $$x_1^2+x_2^2+k^4-2k^2x_1-2x_1x_2-2k^2x_2 = 0.$$

¿Cómo puedo encontrar una ecuación de esta forma, dado que $n$ es mayor que $4$? Estoy muy interesada en cuando $n = 6$.

Answer 1

Bien, usted puede tener que hacer un montón de cuadrar, y puede no ser práctico para hacerlo a mano, pero aquí es la teoría: vamos a empezar con $\sqrt u+\sqrt v+\sqrt w+\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z=k$. Plaza de los dos lados, la transferencia de todos los términos, sin raíces cuadradas a la derecha, dividir por dos, y usted consigue $\sqrt{uv}+\cdots+\sqrt{yz}=k^2+f(u,\dots,z)$ para algún polinomio $f$. Plaza de nuevo y se mueve sin raíces a la derecha. A la izquierda, se obtiene una suma con términos del tipo de $\sqrt{uv}$ e $\sqrt{uvwx}$, en el derecho de algunos de los nuevos polinomio $g(u,\dots,z)$. Hacerlo de nuevo, a la izquierda tendrás términos del tipo de $\sqrt{uv}$, $\sqrt{uvwx}$, e $\sqrt{uvwxyz}$, en el derecho de algunos polinomio $h(u,\dots,z)$.

Seguir haciendo esto. Sólo se va a conseguir nunca los términos de los tres tipos a la izquierda, y los polinomios de la derecha. Ahora sólo hay $15$ diferentes términos de tipo de $\sqrt{uv}$, otro $15$ tipo $\sqrt{uvwx}$, y sólo uno de tipo $\sqrt{uvwxyz}$, lo $31$ términos diferentes en todo. Así que después de haber hecho el procedimiento de $32$ veces, tendrás $32$ ecuaciones lineales en estos $31$ condiciones, y usted puede utilizar álgebra lineal a hervir en una sola ecuación con ninguna de las raíces cuadradas en él, y usted gana.

Espero que no me esperaba para llevar a cabo este procedimiento aquí....

Answer 2

COMENTARIO (UNA repetición para el último comentario de la O. P.).-Su problema es en realidad encontrar el polinomio mínimo de a$ -k $ o $ k $ (que, en principio, es un sistema irracional de grado $2 ^ n$) y, a continuación, el enlace que te di, te ofrece la solución que usted desea.

Pero usted publique en un camino que podría llevar a pensar que no lo es. Puedo explicar por qué el polinomio mínimo de a$-k$ resuelve el problema. El ejemplo lo más fácil es para dos radicales y es suficiente para entender lo que quiero decir.

Usted puede encontrar fácilmente el polinomio mínimo de a$x=\sqrt a+\sqrt b$ que es $$x^4-2(a+b)x^2+(b-a)^2=0$$ and certainly $-k=\sqrt un+\sqrt b$ es una raíz de ello.

Bien, en este polinomio se puede notar que los coeficientes son funciones racionales de $a$ e $b$ a continuación, puede plantear su problema de la manera que usted hace en su post reemplazando $ a $ para $ x_1 $, $ b $ para $ x_2 $ e $ x $ para $ -k $ o $ k $. Esto da el resultado $$ k ^ 4-2 (x_1 + x_2) k ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2 = 0 $$ what obviously answers your problem for the case $ n = 2 $

Answer 3

Solo por diversión, el polinomio extraído de $\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c+k=0$ , usando el método de Somos:

PS

Luego, el siguiente desafío es determinar el número de términos en función del número de variables.