¿Es el Corolario de Schilling 8.9 realmente un corolario?

Question

Estoy leyendo René Schilling de Medidas Integrales y Martingales y estoy confundido en cuanto a por qué él considera que el Corolario de 8,9 un corolario del Teorema 8.8, en lugar de un teorema (que parece ser).

Teorema 8.8:

Deje $X$ ser un espacio medible. Cada $\mathcal{A}/\bar{\mathcal{B}}$medible numérico de la función $u: X \to\bar{\mathbb{R}}$ es el pointwise límite de funciones simples: $u(x) = \lim_{j\to\infty} f_j(x), f_j\in\mathcal{E}(\mathcal{A})$ e $|f_j|\leqslant|u|$. Si $u\geqslant 0$, todos los $f_j$ puede ser elegido para ser positivo y creciente hacia $u$ , de modo que $u = \sup_{j\in\mathbb{N}} f_j$.

Corolario 8.9:

Deje $X$ ser un espacio medible. Si $u_j: X \to \bar{\mathbb{R}}, j\in\mathbb{N},$ son funciones medibles, entonces también lo son $$\sup_{j\in\mathbb{N}} u_j,\qquad \inf_{j\in\mathbb{N}} u_j,\qquad \limsup_{j\to\infty} u_j,\qquad \liminf_{j\to\infty} u_j,\qquad $$ y, cuando existe, $\lim_{j\to\infty} u_j$.

Por lo que puedo ver, parece que el 8,9 no sigue a partir de 8.8. Schilling ofrece una prueba de 8.9, que voy a insertar a continuación, pero no es referencia de nada relacionado a 8.8. Me estoy perdiendo un punto clave aquí, o llamando a esto un "corolario" solo un error?

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También para la integridad, aquí están los Ecualizadores. 8.10–8.12 se hace referencia en la prueba:

$$\inf_{j\in\mathbb{N}} u_j(x) = -\sup_{j\in\mathbb{N}} u_j(-x), \tag{8.10}$$

$$\liminf_{j\to\infty} u_j(x) := \sup_{k\in\mathbb{N}} \Big( \inf_{j\geqslant k}u_j(x) \Big) = \lim_{k\to\infty} \Big( \inf_{j\geqslant k}u_j(x) \Big), \tag{8.11}$$

$$\limsup_{j\to\infty} u_j(x) := \inf_{k\in\mathbb{N}} \Big( \sup_{j\geqslant k}u_j(x) \Big) = \lim_{k\to\infty} \Big( \sup_{j\geqslant k}u_j(x) \Big), \tag{8.12}$$

Answer 1

El corolario 8.9 no es un corolario del teorema 8.8, pero parece ser un corolario del lema 8.1, que le da a NASC la posibilidad de medir una función $u:X\mapsto R$ . Una condición suficiente para la medición de $u$ es que $\{u>a\}\in {\cal A}$ para cada $a\in R$ ; Esta condición se aplica en la prueba del corolario 8.9.

Answer 2

Ciertamente no es un corolario, pero los dos resultados están fuertemente conectadas. Juntos muestran que una función es medible si y sólo si es el límite de funciones simples. Así que juntos, dan una caracterización alternativa a la definición de "función medible". Desde la fundación de la teoría de la integración es la función simple, esto demuestra que el concepto de "función medible" es el derecho a estar mirando.

Sólo René podría decir por qué lo llamó un "corolario", sino una razonable solución sería a cambio de "Teorema 8.9" y, a continuación, añadir:

Corolario 8.10 Una función de $u:X\to\bar{\mathbb{R}}$ es $\mathcal{A}/\bar{\mathcal{B}}$-medible si y sólo si es el pointwise límite de funciones simples.