El anillo de cohomología de un% cerrado$3$ - múltiple con$\pi_1=\mathbb Z$

Question

Deje $M$ ser cerrado, orientable, conectado el colector de dimensión $3$, de tal manera que $\pi_1(M)=\mathbb Z$. Encuentre su cohomology anillo de $H^*(M;\mathbb Z)$.

Claramente $H^0=H^3=\mathbb Z$. Ahora ya conectados implica ruta de acceso conectados a un colector y sabemos $H_1=\pi_1/[\pi_1,\pi_1]=\mathbb Z$, y por la dualidad de Poincaré tenemos $H^2=\mathbb Z$. Ya que no hay torsión en $H_0$, a continuación, $H^1(M)=\hom(H_1,\mathbb Z)=\mathbb Z$. Así que el cohomology anillo tiene un generador en cada grado positivo, vamos a llamarlos $\alpha\in H^1,\beta\in H^2,\gamma\in H^3$. El único realista de las relaciones de encontrar son las $\alpha\cup\beta$ e $\alpha\cup\alpha$.

Por la singularidad de la copa del producto de emparejamiento $H^1\times H^2\to \mathbb Z$ con $(\phi,\psi)\mapsto(\phi\cup\psi)[M]$, e $[M]$ la clase fundamental, tenemos que $\alpha$ es un generador si y sólo si $\alpha\cup n\beta=\gamma$ para algunos entero $n$. Si fuera verdad que la $\alpha\cup \alpha=\beta$, entonces podríamos concluir que $n=\pm1$, pero no sé cómo mostrar (o no show) el último.

Answer 1

Usted puede terminar fácilmente usando básicos de las propiedades algebraicas de la copa del producto: es decir, es bilineal gradual y la conmutativa. Os animo a ver cómo se puede terminar en su propio uso de estas propiedades antes de leer la solución ocultos a continuación.

En primer lugar, la copa del producto es bilineal, por lo $\alpha\cup n\beta=n(\alpha\cup \beta)$ e lo si $n$ fueron no $\pm1$ entonces no sería posible valor de $\alpha\cup\beta$. Por lo tanto $n=\pm1$, y sin pérdida de generalidad $n=1$ por el cambio de sus generadores, si es necesario.

Como para $\alpha\cup\alpha$, desde el $\alpha$ tiene el grado $1$ y el de la copa del producto es calificado conmutativa, $\alpha\cup\alpha=-\alpha\cup\alpha$ que implica inmediatamente $\alpha\cup\alpha=0$ desde $H^2$ es de torsiones.

Answer 2

Si usted cree que hay una sola respuesta (es decir, teniendo en cuenta sólo la información que es que está cerrado, orientable, conectado, y el$\pi_1 = \Bbb Z$, se puede determinar la estructura del anillo de cohomología de forma única), entonces se puede usar el viejo truco, y calcular La respuesta utilizando un supuesto que puede ser válido. En particular, puedes asumir que $M = S^1 \times S^2$ .