Mapas cerrados con fibras no compactas.

Question

Un geométrica ejemplo de un no-cerrada mapa con compacto de fibras se obtiene mediante la toma de un número finito de cubrir mapa y la eliminación de un punto en el piso de arriba. Esta fragmentación de la fibra destruye closedness, pero se mantiene la compacidad de las fibras.

¿Cuáles son algunos geométricas ejemplos de un cerrado mapa con los no-compacto de fibras? Yo no estoy interesado en cosas como la terminal de mapa de innumerables espacio discreto. Esperando algunas fotos, más cerca de los colectores de la mejor.

Mi motivación es la de justificar la intuición para la correcta (universalmente cerrado separado) de los mapas como "completa" a las familias de los espacios compactos. Quiero entender cómo un "mero" cerrado mapa podría no justificar esta descripción cuando las fibras no son compactos.

Answer 1

Esto no es una respuesta definitiva, pero muestra que hay serias restricciones para los ejemplos posibles.

Un mapa de $p : Y \to X$ no es un cerrado mapa proporcionado

(1) $X$ contiene una contables no-conjunto cerrado $A$ tal que para cada una de las $x \in A$ fibra $F_x = p^{-1}(x)$ es un cerrado no compacta subconjunto de $Y$. Tenga en cuenta que si todos en un punto de subconjuntos de a$A$ están cerrados en $X$, entonces el $F_x$ se cierran automáticamente.

(2) $Y$ puede ser escrito como $Y = \bigcup_{m=1}^\infty C_m$ con relativamente compacto abierta $C_m \subset Y$ tal que $C_m \subset C_{m+1}$. Tenga en cuenta que no asumimos que Hausdorff compacto incluye; si usted quiere asumir este, a continuación, $Y$ no es nada más que un Hausdorff localmente compacto y $\sigma$-espacio compacto. Ejemplo: $Y$ localmente compacto, separables y metrizable.

Prueba. Escribir $A = \{ x_n \}$. Para cada una de las $n$ fibra $F_{x_n}$ está cerrado y no compacta, por lo que no puede ser contenida en cualquiera de las $\overline{C}_m$. Definir $Y_n = F_{x_n} \setminus C_n$ (que es no vacío y cerrado en $Y$) y $B = \bigcup_{n=1}^\infty Y_n$. Nos muestran que $B$ es cerrado en $Y$. De hecho, para $y \notin B$ existe $m$ tal que $y \in C_m$. Para $n \ge m$ tenemos $Y_n \cap C_m \subset Y_n \cap C_n = \emptyset$. Por lo tanto $D = B \cap C_m = \left(\bigcup_{n=1}^{m-1} Y_n \right) \cap C_m$ es cerrado en $C_m$ e $U = C_m \setminus D = C_m \setminus B$ es un abierto barrio de $y$ no encuentro $B$. Pero por construcción $p(B) = A$.

Comentario:

(1) implica que el conjunto de $N$ de todos los $x \in X$ , con un no-compacta de fibra de $F_x$ tiene un punto de acumulación (de hecho, cada una de las $\xi \in \overline{A} \setminus A$ es un punto de acumulación). Lo contrario es cierto si $X$ es $T_1$ y la primera contables: Si $x$ es un punto de acumulación de a$N$, entonces existe un contable $A \subset N \setminus \{ x \}$ tal que $x \in \overline{A}$, es decir, $A$ no está cerrado.

El mapa de $p : (\mathbb Z \times \mathbb R) \cup (\mathbb R \times \{ 0 \}) \to \mathbb R, p(x,y) = x,$ es un ejemplo de cerrado mapa con infinitamente muchos no-compacto de fibras.