Uno puede cubrir el espacio de la teoría para entender esto, similares en forma a cómo cubrir el espacio de la teoría se utiliza para demostrar que el grupo fundamental de que el círculo es infinito cíclico (que a veces es el primer ejemplo no trivial de un grupo fundamental de cálculo que un alumno se ve en una topología de clase; ver por ejemplo el libro de Munkres).
En algunos visualización utilizando la cubierta del espacio de método que funciona mejor para $\pi_1(\mathbb RP^2)$ que el grupo fundamental del círculo, porque el grupo fundamental es mucho menor: sólo tiene dos elementos.
He aquí algunos detalles.
El universal cubriendo mapa de $S^2 \mapsto \mathbb RP^2$ permite expresar $\mathbb RP^2$ como el cociente del espacio de la ordinaria de la unidad de la esfera de $S^2$ bajo la acción de $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ por la cubierta de transformaciones: la no identidad de los elementos de la cubierta de grupo es el "antipodal reflexión" mapa de $R(x)=-x$.
Lo que esto significa es que los objetos en las $\mathbb RP^2$ puede ser visualizado como objetos en $S^2$ que vienen en "antipodal reflexión" los pares.
Por ejemplo, un punto en $\mathbb RP^2$ puede ser visualizado como un par de antipodal puntos en $S^2$. Para el punto base $x \in \mathbb RP^2$, vamos a utilizar el norte-sur antipodal par: $X = \{P_N,P_S\}$, donde el polo norte es el punto de $P_N = (0,0,1)$, y el antipodal reflexión de $P_N$ es el polo sur $P_S=(0,0,-1)$.
Un camino de $\gamma$ en $\mathbb RP^2$ con punto inicial $X$ puede ser visualizado como un antipodal reflexión par de rutas en $S^2$. Uno de la pareja es un camino que yo voy a denotar $\gamma_N$, que tiene punto inicial $P_N$. El antipodal reflexión de $\gamma_S$ es un camino de $\gamma_S$ que tiene punto inicial $P_S$: como su dedo índice derecho huellas a lo largo de $\gamma_N$ partir de $P_N$, al mismo tiempo que su dedo índice izquierdo huellas a lo largo de $\gamma_S$ partir de $P_S$, y en todo momento los tipos de sus dos dedos índices se encuentran en un antipodal par de puntos.
Aquí está un ejemplo de un camino cerrado $\gamma$ en $\mathbb RP^2$ basado en $X$ que representa el elemento de identidad de $\pi_1(\mathbb RP^2,X)$: vamos a $\gamma_N$ ser un pequeño círculo que se inicia y vuelve a $P_N$, quedando cerca de $P_N$ en todo momento, y que $\gamma_S$ ser el antipodal reflexión círculo, que comienza y vuelve a $P_S$, quedando cerca de $P_S$ en todo momento. La razón por la que este camino representa el elemento de identidad de $\pi_1(\mathbb RP^2,x)$ es que $\gamma_N$ puede ser homotoped (rel $P_N$) para el camino constante en $P_N$, y, simultáneamente, la antipodal la reflexión de que homotopy es un homotopy de $\gamma_S$ a (rel $P_S$) para el camino constante en $P_S$.
Consideremos ahora la pregunta clave: ¿Cuál es el panorama general de un camino cerrado $\gamma$ en $\mathbb RP^2$ basado en $X = \{P_N,P_S\}$? Desde $\gamma$ comienza a $X$, visualizamos $\gamma$ como antipodal par de rutas, $\gamma_N$ partir de $P_N$ e $\gamma_S$ partir de $P_S$. Pero también se $\gamma$ termina en $X = \{P_N,P_S\}$, y por lo $\gamma_N$, $\gamma_S$ deben terminar en $P_N,P_S$, pero no necesariamente en ese orden. Hay dos posibilidades:
Tipo 0: $\gamma_N$ termina en $P_N$ e $\gamma_S$ termina en $P_S$; O
Tipo 1: $\gamma_N$ termina en $P_S$ e $\gamma_S$ termina en $P_N$.
Si $\gamma$ es de Tipo 0, $\gamma$ es homotopy a la identidad rel $X$. Esto no es difícil de ver, porque la $\gamma_N$ es un camino cerrado basado en $P_N$ e $S^2$ se conecta simplemente a lo $\gamma_N$ es homotópica rel $P_N$ a el camino constante en $P_N$; y tomando el antipodal la reflexión de que homotopy, obtenemos un homotopy rel $P_S$ de la ruta de $\gamma_S$ para el camino constante en $P_S$.
Pero si $\gamma$ es de Tipo 1, entonces es que no homotópica a la identidad rel $X$: el camino de $\gamma_N$ comienza a $P_N$ y termina a las $P_S$, y en una ruta homotopy sus extremos nunca mueva, por lo que el resultado de un homotopy en $\gamma_N$ rel extremos es otro camino que se inicia en $P_N$ y termina a las $P_S$; y de manera similar para $\gamma_S$, por antipodal reflexión.
Aquí hay dos cosas que usted puede pensar, para completar el cuadro.
En primer lugar, cualquiera de las dos rutas de $\gamma$ tipo $1$ son homotópica a cada uno de los otros (sugerencia: cualquiera de los dos caminos en $S^2$ con el mismo punto inicial y el mismo terminal punto de homotópica a cada uno de los otros rel extremos).
Segundo, dado que dos caminos $\gamma,\delta$ en $\mathbb RP^2$ de tipo 1, la composición de la $\gamma * \delta$ tiene las siguientes propiedades:
- $(\gamma * \delta)_N = \gamma_N * \delta_S$, que es un camino cerrado basado en $P_N$.
- $(\gamma * \delta)_S = \gamma_S * \delta_N$, que es un camino cerrado basado en $P_S$.
Para decirlo de otra manera, la concatenación de un par de tipo 1 de los caminos es un tipo 0 ruta: si usted va desde el polo norte al polo sur punto, y si luego van desde el polo sur hasta el polo norte, en toda su trayectoria lleva desde el polo norte, de regreso al polo norte (ártico golondrinas hacer esto cada año, he oído).
A partir de esto, uno ve que el grupo de operación $\mathbb RP^2$ es isomorfo al grupo de operación $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$, donde 0 tipo de rutas de representar el elemento de identidad de $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$, y la de tipo 1 rutas de representar la no-elemento de identidad, y la composición de un par de tipo 1 de los caminos es un tipo 0 de la ruta.
