¿Qué subcampos del grupo de Galois de $x^4+8x^2+8x+4$ son de Galois y hallar el polinomio del campo de división

Question

Esta pregunta es un ejercicio de Dummit y Foote:

1)Quiero encontrar el grupo de Galois de $f(x)=x^4+8x^2+8x+4$ .

2)¿Qué subcampos del campo de división de $x^4+8x^2+8x+4$ son Galois sobre $\Bbb Q$ ?

3) Para los subcampos que son Galois sobre $\Bbb Q$ hallar el polinomio $f(x) \in \Bbb Q[x]$ para los que son el campo de división sobre $\Bbb Q$ .

Mi intento:

He calculado que $f(x)$ es irreducible además, el resolvente cúbico $h(x)=x^3-16x^2+48x+64$ es irreducible. De nuevo el discriminante $315392$ no es un cuadrado por lo que el grupo de Galois tiene que $S_4$ . Así que la parte 1) está hecha.

Ahora, los subcampos del grupo de Galois de $x^4+8x^2+8x+4$ que son Galois corresponden al campo fijo de un subgrupo normal de $S_4$ que son $K_4$ y $A_4$ . Así que, en cierto sentido, la parte 2) está resuelta. Si quiero responder a esta pregunta como un campo $Fix(K_4)=\Bbb Q(a_1,\cdots,a_n)$ y $Fix(A_4)=\Bbb Q(b_1,\cdots,b_r)$ entonces qué será $a_i$ y $b_j$ .

No consigo ninguna pista para la parte 3). Por favor, ayúdame.

Answer 1

En primer lugar tienes un error al calcular el discriminante, ya que es $200704 = (7 \cdot 12^6)^2$ . Esto significa que el grupo de Galois es $A_4$ en lugar de $S_4$ .

Ahora los grupos normales de $A_4$ son $\{e\}, K_4$ y $A_4$ . Por lo tanto, el único subcampo propio de Galois es el correspondiente a $K_4$ . Ahora como $[A_4:K_4] = 3$ tenemos que el campo correspondiente es cúbico. Ahora utilicemos el hecho de que el campo de división de $f$ contiene el campo de división de su resolvente cúbico. Llamemos a este último $L$ . Entonces no es difícil concluir que $[L:\mathbb{Q}] = 3$ y esto debe corresponder a $K_4$ como $A_4$ tiene un único subgrupo de índice $3$ . Por lo tanto, $L$ es el campo de división de $x^3 - 16x^2 + 48x + 64$ .

OBSERVACIÓN: Para demostrar que $[L:\mathbb{Q}] = 3$ puede utilizar el hecho de que el $f$ y su resolvente tienen el mismo discriminante, que ya hemos visto que es un cuadrado.