Encuentra el proceso de variación cuadrática de$\int f(s) \, dB_s$

Question

Deje $f \in L^2[a,b]$ y deje $\displaystyle M(t)=\int_a^tf(s)dB(s)$.
Encontrar la ecuación cuadrática proceso de variación, $[M]_t$ , $M(t)$.

Aquí el proceso de variación cuadrática es el límite de la probabilidad de $\sum\limits_{i=1}^n(M(t_i)-M(t_{i-1}))^2$ donde $a=t_0<\cdots<t_n=t$ es una partición de a$[a,t]$ y el límite se toma como $\Vert\Delta_n\Vert=\max\limits_{1\le i \le n}(t_i-t_{i-1}) \to 0$.

También anteriormente, $B(t)$ es el estándar de Movimiento Browniano.

Im adivinar que $[M]_t=\int_a^tf(s)^2ds$ pero estoy teniendo problemas para mostrar esto. Aquí es lo que he intentado.

$$\begin{align} & \phantom{ {}={} } P\left( \left\vert \sum\limits_{i=1}^n\left(M(t_i)-M(t_{i-1})\right)^2 - \int_a^tf(s)^2ds \right\vert > \epsilon \right) \\ &= P\left( \left\vert \sum\limits_{i=1}^n\left(\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)dB(s))\right)^2 - \int_a^tf(s)^2ds \right\vert > \epsilon \right) \\ &\le\frac{ \mathrm{Var}\sum\limits_{i=1}^n \left(\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)dB(s)\right)^2}{\epsilon^2} \\ &=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n2\left(\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)^2ds\right)^2}{\epsilon^2} \end{align}$$

Donde por encima de la desigualdad proviene de Chebychev desde $E\left(\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)dB(s) \right)^2=\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)^2ds\ $ e $\left(\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)dB(s) \right)$ son independientes, porque de el independiente incrementos de un Movimiento Browniano y por último desde $\left(\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)dB(s) \right)^2$ sigue una $\mathrm{Gamma}\left(\frac12,2\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)^2ds \right)$ densidad. Estoy atascado en este punto, sin embargo.

Answer 1

La afirmación de la siguiente manera, si podemos demostrar que

$$\lim_{\delta \to 0} \sup_{\|\Delta\| \leq \delta} \sum_{i=1}^n \left( \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(s)^2 \, ds \right)^2 = 0. \tag{1}$$

Recordemos el siguiente resultado (ver, por ejemplo, aquí o aquí)

Deje $u \in L^1([a,b])$ ser una función integrable. A continuación, $u$ es uniformemente integrable, es decir, para cualquier $k \in \mathbb{N}$ existe una constante $r>0$ tales que $$\int_A |u(s)| \, ds \leq \frac{1}{k}$$ for all measurable sets $A \subseteq [a,b]$ with Lebesgue meausre $\leq r$.

Fix $k \in \mathbb{N}$. Desde $u := f^2$ es integrable, podemos optar $r>0$ tal que $\int_A |f(s)|^2 \, ds \leq 1/k$ para cualquier conjunto medible $A$ con medida de Lebesgue $\leq r$. Si $\Delta_n$ es una partición de a$[a,t]$ con $\|\Delta_n\| \leq r$ tenemos

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^n \left( \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(s)^2 \, ds \right)^2&\leq \frac{1}{k} \sum_{i=1}^n \left( \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(s)^2 \, ds \right) \\ &= \frac{1}{k} \int_a^t f(s)^2 \, ds. \end{align*}$$

Por lo tanto,

$$\limsup_{\delta \to 0} \sup_{\|\Delta\| \leq \delta} \sum_{i=1}^n \left( \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(s)^2 \, ds \right)^2 \leq \frac{1}{k},$$

y desde $k \in \mathbb{N}$ es arbitrario, esto demuestra la afirmación.

Una observación final con respecto a su razonamiento: Para obtener la última igualdad en sus cálculos prefiero utilizar ese $\int_u^v f(s) \, dB_s$ es Gaussiano con media cero y varianza $\int_u^v f(s)^2 \, ds$ (.. tenga en cuenta que esto permite calcular todos los momentos de la $\int_u^v f(s) \, dB_s$). No es necesario conocer la distribución de los cuadrados de las integrales.

Answer 2

Puede ser overthinking este. Debido a $f$ es de cuadrado integrable, la función de $g(u):=\int_a^u f(s)^2\,ds$ es continua. En consecuencia, $$\eqalign{ \sum_{i=1}^n\left(\int_{t_{i-1}}^{t_i} f(s)^2\,ds\right)^2 &\le\max_{1\le i\le n}[g(t_i)-g(t_{i-1}]\cdot \sum_{i=1}^n\int_{t_{i-1}}^{t_i} f(s)^2\,ds\cr &=\max_{1\le i\le n}[g(t_i)-g(t_{i-1}]\cdot \int_{a}^{t} f(s)^2\,ds\cr }$$ y el máximo de arriba tiende a $0$ como $n\to\infty$ porque $g$ es uniformemente continua en a$[a,t]$. Esto es todo lo que se necesita para terminar su Chebyshev estimación argumento.