Transposición de producto de matrices.

Question

¿Cómo demuestra el siguiente hecho sobre la transposición de un producto de matrices? También puedes dar alguna intuición de por qué es así.

$(AB)^T = B^TA^T$

Answer 1

He aquí un argumento alternativo. La principal importancia de la transposición (y de hecho, esto lo define) es la fórmula $$Ax\cdot y = x\cdot A^\top y.$$ (Si $A$ es $m\times n$, a continuación, $x\in \Bbb R^n$, $y\in\Bbb R^m$, el de la izquierda producto escalar es en $\Bbb R^m$ y el derecho dot producto en $\Bbb R^n$.)

Ahora tenga en cuenta que $$(AB)x\cdot y = A(Bx)\cdot y = Bx\cdot A^\top y = x\cdot B^\top(A^\top y) = x\cdot (B^\top A^\top)y.$$ Por lo tanto, $(AB)^\top = B^\top A^\top$.

Answer 2

Cuando se multiplica $A$ e $B$, usted está tomando el producto escalar de cada FILA de a$A$ y cada COLUMNA de $B$.

La dimensión resultante es $A_{\#col}\times B_{\#row}$, y después de transponer, ha $B_{\#row}\times A_{\#col}$.

Cuando se multiplica $B^T$ e $A^T$, se toma el producto escalar de cada fila de a$B^T$ (columna B) y la columna de $A^T$o fila de $A$.

Su dimensión resultante es $B^T_{\#col}\times A^T_{\#row}$ que es sólo $B_{\#row}\times A_{\#col}$

Esta fórmula se asegura de que cada entrada es correcta, y que las dimensiones son idénticas.

Answer 3

Si conoce los espacios y mapas duales, se puede obtener una prueba conceptual observando que $A^T$ corresponde al mapa dual de $A$ y que tomar el dual es contravariante con respecto a la composición. Es decir, $(T \circ S)^* = S^* \circ T^*$ .