Encuentra el período de $f(x)$ con $f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ .

Question

Por cualquier cosa real $x$ , $\;\;y$
$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ con $f(1)=1$
Encuentra el período de $f(x)$ .

Answer 1

Si $f(x)=2 \cos\left ( \frac {5 \pi }{3}x \right )$ Entonces $f$ satisface las limitaciones del problema. Pero $f(x+6/5)=f(x)$ así que $6$ no es el período fundamental de $f$ .

En general podríamos tener $f(x)=2 \cos\left ( \frac {6n \pm 1}{3} \pi x \right )$ para cualquier $n$ así que el período fundamental de $f$ puede hacerse arbitrariamente pequeño.

Answer 2

En lo que sigue, sólo se consideran los períodos en $\mathbb {Z}$ .

Como saben $f(x+6)=f(x)$ es necesario mostrar que para cualquier $d \mid 6$ , $f(x+d) \ne f(x)$ .

Recuerde que $f(x+1)=f(x+2)-f(x)$ , $f(x+3)=-f(x)$ y $f(1)=1$ .

1. Para $d=1$ . Si $f(x+1)=f(x)$ entonces tenemos $$f(1)=f(0+1)=f(2)-f(0)=0.$$ Es una contradicción.
2. Para $d=2$ . Si $f(x+2)=f(x)$ entonces tenemos $$f(1)=f(0+1)=f(2)-f(0)=0.$$ Es una contradicción.
3. Para $d=3$ . Si $f(x+3)=f(x)$ entonces tenemos $$f(x)=0.$$ Es una contradicción.

Desde $f(x+6)=f(x)$ el período es $6$ .

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Por favor, vea https://math.stackexchange.com/q/1012902 . Tenemos el siguiente lema.

Lema 1: Si el período fundamental de $f$ existe, denotado por $P$ Entonces $$T=\{t \in \mathbb {R} \mid f(x+t)=f(x), \forall x \}=\{nP \mid n \in \mathbb {Z}\}.$$

Así, el período fundamental de $f$ debe ser de esta forma $\frac {6}{q}$ donde $q \in \mathbb {Z}$ . Para este caso, @Micah da muchos ejemplos, a saber, $f(x)=2 \cos ( \frac {6n \pm 1}{3} \pi x)$ donde el período fundamental es $\frac {6}{6n \pm 1}$ , $n \in \mathbb {Z}$ .