$X_f$ de espacio anillado localmente$(X, O_X)$.

Question

Deje que $(X, O_X)$ sea un espacio anillado localmente. $f \in \Gamma(X,O_X)$ ser una sección global. PS

Se afirma que

1. $$X_f:= \{ x \in X \, ; \, f_x \text{ is invertible in } O_{X,x} \} $ es un subconjunto abierto
2. La imagen de $X_f$ en $f$ es invertible.

¿Cómo se ve esto?

Answer 1

Si $f_x$ es invertible en a$\mathcal{O}_{X, x}$, entonces, por definición de la paja, hay un abrir barrio de $U$ de $x$ y una sección de $g \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)$ con $fg = 1$ a $U$.

De ello se sigue que si $y \in U$ es cualquier otro punto en $U$, a continuación, $f_y$ es invertible en a$\mathcal{O}_{X, y}$, lo que muestra que el conjunto de todos estos puntos es abierto.

El hecho de que la imagen de $f$ es invertible, se sigue de la gavilla de los axiomas: usted puede cubrir $X_f$ abre con $U$ en las que tienen locales inversos $g$ para $f$, y de estos locales de los inversos de acuerdo sobre las coincidencias porque inversos son únicos (cuando existen) en cualquier anillo.