Resolver $4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$ usando la fórmula cuadrática

Question

Estoy intentando resolver para x usando la fórmula cuadrática:

$$4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=0$$

La solución proporcionada en la sección de respuestas es: $\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{8}$ mientras que yo llegué a algo completamente diferente: $$\dfrac{\frac{1}{x}\pm\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{16}{x}}}{\frac{2}{x}}$$

Aquí está mi trabajo:

Comienzo con $$4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=0$$

Reorganizando en forma estándar:

$$-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+4=0$$

Multiplico por $-1$ para obtener un coeficiente líder positivo $a$:

$$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-4=0$$

No estoy seguro de cómo determinar mis entradas $a, b$ y $c$ con estas fracciones pero supongo que $a=\dfrac{1}{x^2}$, $b=\dfrac{1}{x}$ y $c=-4$.

Sustituyendo en la función cuadrática:

$$x = \frac{-\frac{1}{x}\pm\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{16}{x}}}{\frac{2}{x}}$$

Encuentro esto desafiante debido a los coeficientes $a$ y $b$ siendo fracciones.

¿Cómo puedo aplicar la fórmula cuadrática a $4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=0$ para obtener $\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{8}$?

Answer 1

Multiplicando ambos lados por $x^2$ resultará en

$$4x^2+x-1=0$$

Ahora, con $a=4, b=1, c=-1$ usa la fórmula cuadrática y déjanos saber qué obtienes.

Answer 2

Tenga en cuenta que$$4+\frac1x-\frac1{x^2}=\frac1{x^2}\left(4x^2+x-1\right).$$Por lo tanto, resuelva la ecuación $4x^2+x-1=0$.

Answer 3

Otras respuestas siguieron mi sugerencia en los comentarios.

Aquí tienes una alternativa:

Sea $z=\dfrac1x.$ Entonces tenemos $-z^2+z+4=0$, así que, usando la fórmula cuadrática, $z=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{-2}.$

Por lo tanto $x=\dfrac1z=\dfrac{-2}{-1\pm\sqrt{17}}=\dfrac{2(-1\mp\sqrt{17})}{16}.

Answer 4

De

$$4+\left(\frac1x\right)-\left(\frac1x\right)^2=0$$

usando la fórmula estándar ciegamente,

$$\frac1x=\frac{1\pm\sqrt{17}}2$$

y obviamente

$$x=\frac2{1\pm\sqrt{17}}.$$

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Aunque esto parece contradecir la respuesta esperada, considera

$$\frac2{1\pm\sqrt{17}}=\frac{2(1\mp\sqrt{17})}{1-(\sqrt{17})^2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}8.$$

Answer 5

Ten en cuenta que $$4+\frac1x-\frac1{x^2}=4+\frac1x-\left(\frac1x\right)^2,$$ por lo que al hacer la sustitución $y=\frac1x,$ obtenemos la ecuación cuadrática $$-y^2+y+4=0,$$ que debería resultar más familiar. Resuelve para $y,$ y dado que ninguna solución para $y$ debería ser igual a $0,$ utiliza $x=\frac1y$ para resolver por $x.$