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Question

Como sugiere el título, estoy interesado en el cálculo de $(\omega+n)^{\omega}$.

Mi pruebe va como esto: sabemos que:

$$(\omega+n)^{\omega}=\text{sup}\{(\omega+n)^k|\;k\in\omega\}$$

Por ejemplo, me gustaría tener alguna fórmula para $(\omega+n)^k$ , que debe ser más manejable que su forma actual.

Procedo a demostrar por inducción sobre los números naturales, que:

$$(\omega+n)^k=\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n$$

Por si $k\in\omega$, e $k\not=0$, entonces:

$$(\omega+n)^{k+1}=(\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n)(\omega+n)=(\omega+n)^k=(\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n)\omega+(\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n)n$$

Y no es difícil de demostrar, con otro de inducción, que:

$$(\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n)n=\omega^kn+\dots+\omega^2n+\omega n+n$$ $$(\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n)\omega=\omega^{k+1}+\omega^{k-1}+\dots+\omega^2n+\omega n+n$$

Y por lo tanto;

$$(\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n)\omega+(\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n)n=\;=(\omega^{k+1}+\omega^{k-1}+\dots+\omega^2n+\omega n+n)+(\omega^kn+\dots+\omega^2n+\omega n+n)=\quad=\omega^{k+1}+(\omega^{k-1}+\dots+\omega^2n+\omega n+n+\omega^kn)+\dots+\omega^2n+\omega n+n=\qquad=\omega^{k+1}+\omega^kn+\dots+\omega^2n+\omega n+n$$

Y por lo tanto, $k+1$ también cumple la condición, por lo que la fórmula contiene realmente. Sin embargo, lo que no hace:

$$\text{sup}\{\omega^k+\dots+\omega^2n+\omega n+n|\;k\in\omega\}$$

En realidad iguales? Es $\omega^{\omega}$? Estoy despistado en este punto.

Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

Sí, $\sup\{\omega^k+\cdots+\omega^2n+\omega n+n\,:\, k\in\omega\}=\omega^\omega$. Si usted está preocupado acerca de los límites superior, usted puede usar la desigualdad de $\omega^k+\cdots+\omega^2n+\omega n+n\le \omega^{k+1}$. O, directamente, $\omega^k+\cdots+\omega^2n+\omega n+n\le \omega^\omega$.

En general, para todos los ordinales $\alpha\ge1$, para todos los ordinales $\beta> \gamma_k>\gamma_{k-1}>\cdots> \gamma_1>\gamma_0$ y para todos los ordinales $\delta_{\gamma_i}<\alpha$, $i=0,\cdots,k$, tiene $$\alpha^\beta>\alpha^{\gamma_k}\cdot\delta_{\gamma_{k}}+\alpha^{\gamma_{k-1}}\cdot\delta_{\gamma_{k-1}}+\cdots+ \alpha^{\gamma_1}\cdot\delta_{\gamma_1}+\alpha^{\gamma_0}\cdot\delta_{\gamma_0}$$

Más "algebraica" manera todo el problema:

$$\omega^\omega\le (\omega+n)^\omega\le (\omega\cdot 2)^\omega\le (\omega^2)^\omega=\omega^{2\cdot \omega}=\omega^\omega$$

Por supuesto, aquí hay que probar que/recuerde que las dos normas que sostenga para ordinal exponenciación se $\alpha^\beta\alpha^\gamma=\alpha^{\beta+\gamma}$ e $(\alpha^\beta)^\gamma=\alpha^{\beta\cdot \gamma}$, mientras que, en general, $(\alpha\cdot\beta)^\gamma\ne \alpha^\gamma\cdot\beta^\gamma$.

Answer 2

Claramente $\omega^\omega\le(\omega+n)^\omega$ . Además, $(\omega+n)^\omega\le (\omega^2)^\omega=\omega^{(2\cdot \omega)}=\omega^\omega$ , y la igualdad sigue.

Si no se siente cómodo con el movimiento de $(\omega^2)^\omega$ a $\omega^{(2\cdot \omega)}$ , simplemente tenga en cuenta que el lado izquierdo es $\omega\cdot\omega\cdot\omega\cdot\dots$ , donde hay $2\cdot\omega=\omega$ factores, todos iguales a $\omega$ .