Demostrando que$(n+1)$ el diferencial es$0$ dado que los diferenciales más bajos son$0$

Question

La siguiente es una pregunta estoy atascado en.

Deje $f : \Bbb R \to \Bbb R$ ser infinitamente derivable la función y supongamos que para algunos $n ≥ 1$, $$f(1) = f(0) = f^{(1)}(0) = f^{(2)}(0) = · · · = f^{(n)}(0) = 0$$ Demostrar que no existe $x \in (0, 1)$ tal que $f^{(n+1)}(x) = 0$.

Es una pasada la pregunta de un examen de ingreso.

Pensé que lo uso Teorema de Rolle, pero esto requiere de información acerca de $f^{(n)} (1)$ que soy incapaz de conseguir. Sólo información sobre el comportamiento de la $1$ que tengo es $f(1)=0$

Answer 1

Sugerencia: Bien, pensar en pequeño. Para $n=0$ es trivial. Así que trate de pensar acerca de lo que sucede, por $n=1$ primera. El resultado sería leer

Si $f(1) = f(0) = f'(0) = 0$, no es $x \in (0,1)$ tal que $f''(x) = 0$.

¿Cómo se podría ir sobre esto? Ok, si $f(1) = f(0)$ hay $y \in (0,1)$ tal que $f'(y) = 0$. Ahora no es $x \in (0,y)\subseteq (0,1)$ tal que $f''(x) = 0$, por el teorema de Rolle de nuevo. ¿Ves el patrón?

Answer 2

Desde $f(0)=f(1)=0,\ \exists c\in(0,1)$ tal que $f'(c)= 0.$ Ahora desde $f'(0) = f'(c)=0,\ \exists d \in (0,c)$ tal que $f''(d)=0.$ Proceda.

Answer 3

Me encantan las respuestas. Otro método.

Expansión de Taylor: $$f(x) = f(0)+ f'(0)x+\dots + f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1},$ $

$c$ está en el intervalo abierto entre $0$ y $x$ .