¿Un espacio topológico siempre admite una acción$\mathbb{Z}_2$ -?

Question

Recientemente he estado leyendo mucho acerca de la $\mathbb{Z}_2$-acciones en espacios topológicos. Principalmente me he centrado en las superficies, tales como la esfera, el toro y la botella de Klein y de aquí la existencia de un trivial $\mathbb{Z}_2$-acción es bastante simple. Pero me preguntaba si un general topológica del espacio siempre admite un trivial continua $\mathbb{Z}_2$-acción? Si no, entonces más específicos, hace un colector de admitir un trivial continua $\mathbb{Z}_2$-acción?

Para un colector $M$ estaba pensando en el hecho de que podemos incrustar $M$ a $\mathbb{R}^N$ para algunos $N >0$ y, a continuación, $M$ puede heredar $\mathbb{Z}_2$-acción de $\mathbb{R}^N$ , pero luego, cuando uno se ve en la espiral en $\mathbb{R}^2$ vemos que esta espiral no se heredan, por ejemplo, el antipodality de $\mathbb{R}^2$.

Extra: también me pregunto que si hay espacios que no admite un no trivial continua $\mathbb{Z}_2$-acción, ¿estas de espacio, a continuación, también admite un libre $\mathbb{Z}_2$-acción? Por libre me refiero a que la acción está a punto fijo gratis.

Si alguien sabe algunos ejemplos básicos que no admiten un continuo (gratis) $\mathbb{Z}_2$-acción. Por favor, comparte. Me parece que no puede encontrar uno.

Gracias de antemano!

Answer 1

Considere la posibilidad de $X=[0,1)$. Por la conexión de los argumentos que se deduce que $0$ es fijo por cada homeomorphism y, como consecuencia, todos los $\mathbb{Z}_2$-acción en $X$ es trivial (para comprobar esto, mostrar que cada subconjunto de la forma $[0,\varepsilon]$ se fija).

Si tenemos en cuenta los colectores entonces no te puedo dar ejemplos que no admiten un no-trivial $\mathbb{Z}_2$-acción (que no constan de un solo punto). Sin embargo, si consideramos que las acciones libres, entonces el cociente es un colector y obtenemos una cubierta. Es una consecuencia de la Lefschetz punto fijo teorema de que la única de las acciones libres en $S^{2n}$ son triviales o dado por $\mathbb{Z}_2$. Pero si $\mathbb{R}P^{2n}$ un $\mathbb{Z}_2$-acción, entonces el cociente habría un grupo fundamental de la orden de $4$ universal que cubre $S^{2n}$, lo cual no es posible.

Answer 2

$X=\mathbb R$ admite fácilmente una acción no trivial $\mathbb Z_2$ , pero no puede ser gratis, siempre podemos encontrar un punto fijo con el teorema del valor intermedio.