Delimitación del valor absoluto de una función con una integral.

Question

Estoy teniendo problemas con el siguiente problema en el análisis:

Supongamos que $f, f^\prime \in C([0, 1])$ . Demuestre que para todos los $x \in [0, 1]$ $$ | f (x) | \ leq \ int_0 ^ 1 (| f (t) | + | f ^ \ prime (t) |) dt. $$

Cualquier punteros? He intentado escribir esto como una suma de Riemann (dada una partición etiquetada arbitraria) pero todavía no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

$\int_{0}^1|f(t)| dt$ es el promedio de $|f(t)|$ en el intervalo, y $\int_{0}^1|f'(t)|dt$ es la variación total de $f(t)$ , si piensas en esto, tiene sentido. Por MVT, tiene ese $$\int_{0}^1|f(t)| dt=|f(a)|$$ for some $ a \ in [0,1]$. Let $ x \ in [0,1]$, WLOG say $ x> a $ , luego \begin{align*}|f(x)|&\leq |f(a)|+|f(x)-f(a)|\\ &=\int_{0}^1|f(t)|dt+|\int_{a}^xf'(t)dt|\\ &\leq \int_{0}^1|f(t)|dt+\int_{a}^x|f'(t)|dt\\ &\leq\int_{0}^1|f(t)|dt+\int_{0}^1|f'(t)|dt \end{align*}