Cardinalidad de ciertos subconjuntos en espacios vectoriales sobre campos finitos

Question

Suponga que tiene un $n$-dimensional espacio vectorial sobre un campo finito (por lo tanto el número de elementos en el vector de espacio es finito.) y $F$ es un subconjunto de este espacio vectorial que contiene a$m$ elementos. Vamos a $A$ es un subconjunto de este espacio vectorial cuando la intersección de $A+A$ e $F$ está vacía.

La pregunta es esta: ¿Qué es un no trivial límite inferior para la cardinalidad de a$A$?

Gracias.

Answer 1

Bien, me puede dar un ejemplo en donde la $A$ debe estar vacío. Supongamos que el espacio vectorial es $(\mathbb{F}_2)^n$ e $F$ cualquier $n$ elemento del subconjunto que incluye $0^n$. A continuación, para cada una de las $a \in A$ hecho a cualquier $a \in (\mathbb{F}_2)^n$ tenga en cuenta que $a+a = 0^n$.

De hecho, algo similar podría mantener si $\mathbb{F}_2$ fueron reemplazados por cualquier campo finito con carácter 2.

Así que tu pregunta como le pidió, el límite inferior es 0 y es apretado.

---

ETA: Si usted requiere que cada elemento de la $F$ a ser distinto de cero, entonces [para el caso en que espacio vectorial $X$ es $(\mathbb{F}_2)^n$ de todos modos] $A$ puede ser tan grande como $|X|/2$. De hecho, vamos a $F$ ser el conjunto de vectores $u$ en $(\mathbb{F}_2)^n$ tal de que exactamente uno de coordinar en $u$ es distinto de cero, y deje $A$ ser el conjunto de vectores $y$ tal que $y$ tiene un número par de coordenadas distinto de cero. A continuación, $|A| = |X|/2$ pero $A+A = A$ ... $A$ es un espacio vectorial--y $A$ no se cruzan $F$.

Un conjunto $A$ puede ser mayor. De hecho, si $A$ es mayor que $|X|/2$ entonces $A+A$ contiene cada elemento distinto de cero $u$ de $(\mathbb{F}_2)^n$. De hecho, $u +A$ tiene cardinalidad $> |X|/2$, y por lo tanto se cruza con $A$ sí. Así que vamos a $a_1,a_2 \in A$ ser tal que $u+a_1 = a_2$. Entonces como $u$ es distinto de cero, se sigue que $a_1 \not = a_2$, e $a_1+a_2 = u$ lo $u \in A+A$.

Así que la mitad el número de elementos en el espacio vectorial $X$ es un límite superior. Y para $X =$ $(\mathbb{F}_2)^n$ es un estrecho límite superior.