Deje $(F, \langle \cdot\;,\;\cdot\rangle)$ ser un complejo espacio de Hilbert. Deje $M$ positivo semidefine operador en $F$. Considere el siguiente positiva semidefinite sesquilinear forma: \begin{eqnarray*} \langle\cdot\;,\;\cdot\rangle_{M} :&F\times F&\longrightarrow \mathbb{C}\\ &(x,y)&\longmapsto\langle x\;,\;y\rangle_{M} =\langle Mx\;,\;y\rangle. \end{eqnarray*}
El seminorm inducida por $\langle\cdot\;,\;\cdot\rangle_{M}$ está dado por $$\|x\|_M=\langle Mx\;,\;x\rangle^{1/2}.$$
Claramente $(F,\|\cdot\|_M)$ es una normativa espacio iff $M$ es inyectiva.
Si $M$ no es inyectiva, podemos decir que $(F,\|\cdot\|_M)$ es completa si el rango de $M$ está cerrado? o debemos suponer que $M$ es inyectiva porque creo que en la definición de un completo espacio que necesitamos que se separa con el fin de obtener la unicidad del límite.
La idea es tomar el $(x_n)\subset F$ tal que $\|x_n-x_m\|_{M}\to0$ como $n,m\to\infty$ y para mostrar $(x_n)$ converge con respecto a$\|\cdot\|_M$. Mi problema es que cuando $M$ no es inyectiva, a continuación, $\|\cdot\|_M$ es sólo un seminorm y no tenemos la unicidad del límite.
