Versión alternativa del teorema del valor final para la transformada de Laplace

Question

Dejemos que $f:[0,\infty) \to \mathbb{C}$ sea una función continua y acotada tal que el límite $$\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(t)dt = d \quad\text{exists}.$$

Dejemos que $\hat{f}$ sea la transformada de Laplace de f, es decir $$\hat{f} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt.$$

Demostrar que $$\lim_{s\to0,\:s>0} s\hat{f} = d.$$

He probado diferentes formas, pero por ahora no he conseguido la prueba completa.

1. Empecé con la siguiente idea (no rigurosa). Definir $T=\frac{1}{s}$ entonces $$\lim_{s\to0,\:s>0} s\hat{f} = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\hat{f}=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}e^{-t/T}f(t)dt$$ donde el integrando converge a $f(t)$ y por lo tanto el teorema de convergencia dominante supongo que podría ser utilizado. Sin embargo, hay dos problemas: (a) $T \in \mathbb{C}$ y por lo tanto no estoy seguro de poder hacerlo, (b) no quiero usar el teorema de convergencia dominante ya que no fue introducido en clase.

2. Un enfoque diferente es utilizar el teorema fundamental del cálculo ya que f continua y definir: $$F(T) = F(0) + \int_{0}^{T}f(t)dt \quad \forall \; T \in [0,\infty).$$ Entonces a partir de aquí utilice la fórmula de la transformada de Laplace de la derivada, pero no conseguí avanzar.

Answer 1

Dejemos que $g(t)=\int_0^{t}f(s)ds$ . Integrar por partes para ver que $s \hat {f} (s)=s^{2}\int_0^{\infty} (te^{-st}) (\frac {g(t)} t)dt$ . Ahora $s^{2}\int_0^{\infty} (te^{-st}) (\frac {g(t)} t)dt=s^{2}\int_0^{\infty} (te^{-st}) (\frac {g(t)} t-d)dt+d$ porque $s^{2}\int_0^{\infty} (te^{-st})dt=1$ . Supongamos que $|\frac {g(t)} t-d| <\epsilon$ para $t \geq t_0$ . Ahora divide la integral en integrales sobre $(0,t_0)$ y $(t_0,\infty)$ . ¿Puedes terminar la prueba ahora?

La forma integral $t_0$ a $\infty$ está limitada por $\epsilon \int_{t_0} ^\infty s^{2}te^{-st}dt \leq \epsilon \int_{0} ^{\infty} s^{2}te^{-st}dt=\epsilon$ . El intergal de $0$ a $t_0$ tiende a $0$ como $ s \to 0$ porque $g(t)-td$ está acotado en este intervalo y $s^{2} \int_{0} ^{t_0} e^{-st} dt \to 0$ mediante el cálculo directo de la integral.