Función de infinito contable a uno

Question

¿Existen funciones continuas $f:I\to I$ tal que $f^{-1}(\{x\})$ es contablemente infinito para cada $x$ ? Aquí, $I=[0,1]$ .

La pregunta " Función infinito-uno " es similar pero sin la condición de que sea contable. (El rango era $S^2$ no $I$ pero la respuesta aceptada también funcionaba para $I$ .)

Dudo que exista una, ya que no he sido capaz de dar con una, pero no estoy seguro. Probablemente haya alguna razón topológica por la que esto sea imposible.

Answer 1

He aquí un ejemplo. Comienza con la función de Cantor $g:[0,1]\to[0,1]$ es decir, la función que envía $x=\sum a_n/3^n$ a $\sum a_n/2^{n+1}$ si cada $a_n$ es $0$ o $2$ y es localmente constante fuera del conjunto de Cantor $K$ . Obsérvese que para cada racional diádico $q\in(0,1)$ existe un único intervalo (no degenerado) $[a_q,b_q]$ con $a_q,b_q\in K$ tal que $g(x)=q$ para todos $x\in[a_q,b_q]$ y $[0,1]\setminus K$ es la unión disjunta de los intervalos $(a_q,b_q)$ . Definir una función $h:[0,1]\to[0,1]$ diciendo $h=g$ en $K$ y en cada intervalo $[a_q,b_q]$ , $h$ es una suryección continua finito a uno $[a_q,b_q]\to[q,q+1/2^n]$ , donde $2^n$ es el denominador de $q$ (en términos mínimos), y $h(a_q)=h(b_q)=q$ .

La función $h$ es claramente continua cuando se restringe a cada intervalo $[a_q,b_q]$ y en particular es continua fuera de $K$ . Al acercarse a un punto de $K$ sin permanecer en un solo intervalo $[a_q,b_q]$ se pasa por infinitos intervalos de este tipo $[a_q,b_q]$ con los denominadores de los números $q$ cada vez más grande, y así $h$ permanece continua porque $g$ es continua. Así, $h$ es continua en todo $[0,1]$ .

Reclamo cada punto de $[0,1]$ excepto $0$ tiene un número contablemente infinito de preimágenes bajo $h$ (ya que $h(x)\geq g(x)$ para todos $x$ , $0$ es la única preimagen de $0$ ). Está claro que cada punto tiene un número contable de preimágenes: $h$ está de acuerdo con $g$ en $K$ y $g$ es finito a uno en $K$ y fuera de $K$ , $h$ es finito-a-uno en cada uno de los contables intervalos $[a_q,b_q]$ . Ahora bien, si $x\in[0,1]$ y $q\in(0,1)$ es cualquier racional diádico obtenido al truncar una expansión binaria de $x$ en algún momento, entonces por construcción, $h$ toma el valor $x$ en algún lugar del intervalo $[a_q,b_q]$ (ya que $q\leq x\leq q+1/2^n$ ). Si $x\neq0$ entonces hay infinitos racionales diádicos diferentes $q\in(0,1)$ que se puede obtener truncando una expansión binaria de $x$ (si $x$ es un racional diádico, utilice la expansión binaria del mismo que termina en $1$ s). Por lo tanto, encontramos que $x$ debe tener infinitas preimágenes a menos que $x=0$ .

Por último, es fácil modificar $h$ para dar $0$ infinitas preimágenes. Por ejemplo, defina $f(x)=i(x)$ si $x\in[0,1/2]$ y $f(x)=h(2x-1)$ si $x\in[1/2,1]$ , donde $i:[0,1/2]\to[0,1]$ es cualquier función continua contable a uno que alcanza el valor $0$ infinitas veces y satisface $i(1/2)=0$ (es fácil construir tal función modificando adecuadamente la función $x\mapsto x\sin^2(1/x)$ ). Entonces $f$ es una función continua $[0,1]\to[0,1]$ con un número infinito de preimágenes para cada punto.