Si$ab+ac+bc=9$ y$a,b,c \geq 1,$, ¿cuál es el valor máximo de$a^2+b^2+c^2?$?

Question

Si $ab+ac+bc=9$ y $a,b,c \geq 1,$ podría alguien aconsejarme cómo encontrar el valor máximo de $a^2+b^2+c^2?$
He demostrado que $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+18,$ es suficiente para maximizar $a+b+c ?$

Gracias.

Answer 1

$$\sum_{cyc}(a-1)(b-1)\geq0$ $ da $$a+b+c\leq6$ $ y, por su trabajo, ¡hemos terminado!

La igualdad se produce para $(a,b,c)=(1,1,4).$