Mermin-Wagner y graphene

Question

Me han dicho que el Teorema de Mermin-Wagner no permite la existencia del cristal de grafeno. Sin embargo, no tengo suficiente conocimiento para entender el teorema de Mermin-Wagner. Si es posible, ¿alguien puede explicarme..:

• Lo básico del teorema, ¿de qué está hablando?
• ¿Por qué impide que exista el grafeno?
• ¿Por qué existe el grafeno si el teorema de MW lo impide?

Answer 1

Es bastante gracioso que la gente continúe citando el teorema de Mermin-Wagner en un contexto en el que se debe dar crédito a David Mermin por un trabajo que escribió solo, en el que derivó el teorema que se aplica directamente al problema del orden cristalino en 2D. Como ejemplo de la actual confusión de citas, hay un artículo muy citado por M I Katsnelson de libre lectura en línea, donde en el texto se menciona el teorema de Mermin-Wagner, pero el correspondiente elemento bibliográfico es N.D. Mermin Phys. Rev., 176 (1968), p. 250. La razón de tal confusión es probablemente que el teorema de Mermin-Wagner es dos años anterior al artículo de Mermin. Además, los dos teoremas están conectados pero describen cosas diferentes. El teorema de Mermin-Wagner se refería originalmente a la posibilidad de un orden ferromagnético o anti ferromagnético en sistemas de redes unidimensionales y bidimensionales, medido por las funciones de correlación de giro. Como tal, no estaba directamente relacionado con la existencia de cristales de átomos de una o dos dimensiones. El teorema de Mermin de 1968 tiene un título El orden cristalino en dos dimensiones y se ocupa específicamente del problema de la existencia de cristales bidimensionales.

A continuación describiré el contenido del teorema, sin entrar en los detalles técnicos de la prueba, y resumiré las conclusiones que la gente obtuvo ya muchos años antes del descubrimiento del grafeno. Algunas de estas conclusiones han sido redescubierto recientemente en relación con el fuerte impulso de la investigación sobre el grafeno.

De qué se trata el teorema de Mermin (no Mermin-Wagner):

Un sólido cristalino de simetría rota puede caracterizarse de manera sencilla por la presencia de una densidad periódica de una sola partícula, $ \rho ({ \bf r})$ o por sus componentes D-dimensionales de Fourier, $ \rho_ { \bf G}$ donde ${ \bf G}$ es un vector recíproco genérico de red.

Mermin fue capaz de probar que en menos de $3$ dimensiones $ \rho_ { \bf G}$ para todos los vectores de red recíprocos no nulos, deben desaparecer en el límite termodinámico. La prueba es una tour de force de estimaciones sobre el comportamiento asintótico de la cantidad seleccionada. El resultado implica que si un cristal 2-D se define por la no desaparición de Fourier componentes $ \rho_ { \bf G}$ entonces tal cristal no puede existir en una o dos dimensiones en el límite termodinámico. Obsérvese que en la mecánica estadística, el límite termodinámico es un prerrequisito para poder encontrar un comportamiento no analítico en la termodinámica que se toma como definición de la existencia de una transición de fase.

Vale la pena notar que el teorema establece, de manera matemática, lo que había sido previamente conjeturado por Rudolph Peierls en base a un argumento más físico. La intuición de Peierls era que, en las dimensiones bajas, las excitaciones de larga longitud de onda (fonones de larga longitud de onda) destruyen el orden cristalino al hacer que el desplazamiento medio cuadrado de las partículas divergen logarítmicamente con el tamaño del sistema.

Aparentemente el teorema parece prohibir la existencia de sistemas, como el grafeno, que pueden ser caracterizados experimentalmente en términos de no cero $ \rho_ { \bf G}$ (Experimentos de STM). Este El teorema de la no-violencia debería aplicarse al grafeno, pero incluso antes del descubrimiento del grafeno, otros indicios de cristales bidimensionales reales estaban desafiando la aplicabilidad del teorema al mundo real. El caso de los gases raros adsorbidos en la superficie del grafito era un primer ejemplo, aunque algunas dudas podían volver a plantear el papel de la red de grafito subyacente. Mucho más desafiante fue el caso de la cristalización de electrones atrapados en la superficie del Helio líquido. También los experimentos de física computacional mostraban la posibilidad de que en la práctica el teorema no fuera válido.

Entonces, ¿cuál es la forma de escapar de la consecuencia del teorema?

Desde principios de los años ochenta, se llegó a un consenso sobre la irrelevancia práctica para las muestras de laboratorio, de la desaparición asintótica de los coeficientes de Fourier. En referencia al argumento de Peierls, es cierto que los fonones de longitud de onda larga hacen que el desplazamiento medio cuadrado aumente logarítmicamente. Pero un análisis cuantitativo muestra que incluso para un cristal del tamaño del sistema solar este valor permanecería una fracción de la distancia interatómica. Así que, en la práctica, la consecuencia de los mismos puede ser evitada.

Curiosamente, esa actitud significa que en algunos casos (sistemas de baja dimensión) uno de los principios básicos de la mecánica estadística (el papel clave del límite termodinámico) tiene que debilitarse: para esos sistemas, el límite termodinámico no es la mejor aproximación posible para los sistemas macroscópicos finitos.