Si cada mapa$X\to S^1$ es nullhomotopic, entonces$H_1 (X)$ es finito, sin usar cohomology?

Question

Si $X$ es finita conectado CW complejo, $H_1 (X, \mathbb{Z})$ es finito iff de cada mapa se $X \to S^1$ es nullhomotopic.

Esta pregunta ya se ha preguntado y respondido aquí. Sin embargo, el problema apareció en una topología de examen de calificación en la Universidad de Michigan, para que cohomology no es parte del plan de estudios. Me pregunto si hay una manera para mostrar la dirección en $$\text{all maps $X\a S^1$ nullhomotopic $\implica$ $H_1 (X, \mathbb{Z})$ is finite}$$ very explicitly, without reference to cohomology, that $S^1$ is a $K(\mathbb{Z}, 1)$, universal coeficiente de teorema, etc.

Answer 1

Así, si se permite que el hecho de que $H_1$ es el abelianization de $\pi_1$ (Hatcher 2A.1), entonces

$$\mathrm{Hom}(\pi_1(X),\mathbb Z) \cong \mathrm{Hom}(H_1(X), \mathbb Z).$$

Si $H_1(X)$ es finitely generado y si $\mathrm{Hom}(H_1(X), \mathbb Z)$ es cero, $H_1(X)$ es finito. Desde $X$ es finita $CW$ complejo, $H_1$ es, sin duda finitely generado.

Entonces queremos mostrar que $\mathrm{Hom}(\pi_1(X), \pi_1(S^1))$ es trivial.

La proposición 1B.9 en hatcher texto demuestra que desde $S^1$ tiene un contráctiles la universalización de la cobertura,$$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(\pi_1(X),\pi_1(S^1)) \cong [X,S^1] =0$$

donde la $[X,S^1]$ están basados en mapas.