Si$f∈C^1$ y$\{∇f=0\}$ tiene la medida de Lebesgue$0$, entonces$\{f∈B\}$ tiene la medida de Lebesgue$0$ para todos los Borel medibles$B⊆ℝ$ con la medida de Lebesgue$0$

Question

Deje $d\in\mathbb N$ e $f\in C^1(\mathbb R^d)$. Suponga $\left\{\nabla f=0\right\}$ tiene medida de Lebesgue $0$.

¿Cómo podemos concluir que $\left\{f\in B\right\}$ tiene medida de Lebesgue $0$ para todos los Borel medible $B\subseteq\mathbb R$ con medida de Lebesgue $0$?

La demanda puede ser encontrado en una respuesta en mathoverflow.

El autor escribe que el reclamo "es cierto, a nivel local, en una vecindad de cada punto donde se $\nabla f\ne0$, debido al teorema de la función implícita". Honestamente, no entiendo exactamente lo que dijo de su significado.

Deje $a\in\mathbb R^d$ con $\nabla f(a)\ne0$. Entonces, seguramente, por la continuidad de $\nabla f$ a $a$, hay un abrir vecindario $N$ de $a$ con $$\nabla f(x)\ne0\;\;\;\text{for all }x\in N\tag1.$$ But how do we need to apply the implicit function theorem and what's the resulting "local" conclusion? Maybe that $N\cap\left\{f\in B\right\}$ has Lebesgue measure $0$?

Answer 1

Observación. $c\in\mathbb{R}^d$ se llama regular el valor de $f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^d)$si $\nabla f(x)\neq 0$ para todos los $x\in f^{-1}(c)$. El Teorema de la Función Implícita (IFT) afirma que $f^{-1}(c)$ es un (d-1)-dimensional submanifold de clase $\mathcal{C}^1$ -- para regular el valor de $c$. Por lo tanto, $f^{-1}(c)$ es un valor nulo.

Deje $\widetilde{N}\overset{\Delta}=\left\{\nabla f\neq 0\right\}$ (que es abierto).

Desde el IFT, tenemos que $\widetilde{N}\cap f^{-1}(c)$ es un (d-1)-submanifold de clase $\mathcal{C}^1$.

Ahora, usted tiene $\widetilde{N}\cap \left\{f\in B\right\}=\bigcup_{t\in B}\widetilde{N} \cap f^{-1}(t)$, donde $\widetilde{N} \cap f^{-1}(t)$ es un valor null para todos los $t$ desde el anterior comentario (ya que es un $\mathcal{C}^1$ submanifold de la IFT). Por lo tanto, cuando se $B$ es contable, a la que se refiere es nulo.

Cuando $B$ es incontable, se deduce a partir del Teorema de Fubini que $\bigcup_{t\in B}\widetilde{N}\cap B_r \cap f^{-1}(t)$ es un valor nulo para cualquier delimitada abrir balón $B_r$.

Para ver esta última afirmación, se puede recurrir a una más especializada, en forma de Fubini adaptada a nuestro caso (conocido como co-área de fórmula),

$\int_{\widetilde{N}\cap B_r} g\left|\nabla f\right| d\mu = \int_{\mathbb{R}} \left(\int_{f^{-1}(t)\cap\widetilde{N}\cap B_r} g(x)d\mu_{d-1}(x)\right) dt$.

Tome $g$ a ser el indicador de la foliación $\bigcup_{t\in B}\widetilde{N}\cap B_r \cap f^{-1}(t)$ y la nota que

$\int_{\mathbb{R}} \left(\int_{f^{-1}(t)\cap\widetilde{N}\cap B_r} g(x)d\mu_{d-1}(x)\right) dt=\int_{B} \left(\int_{f^{-1}(t)\cap\widetilde{N}\cap B_r} d\mu_{d-1}(x)\right) dt=0$,

donde el último de identidad tiene desde $B$ es un valor nulo. Por lo tanto,

$\int_{\widetilde{N}\cap B_r} g\left|\nabla f\right| d\mu=0$ y, por tanto, $g\left|\nabla f\right|=0$ en casi todas partes en $\widetilde{N}\cap B_r$. Ya, $\left|\nabla f\right|\neq 0$ en casi todas partes, se deduce que el $g(x)=0$ en casi todas partes en $\widetilde{N}\cap B_r$. En otras palabras,

$\mu\left(\bigcup_{t\in B}\widetilde{N}\cap B_r \cap f^{-1}(t)\right)=\int g d\mu =0$.

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La actualización. En aras de la exhaustividad, voy a añadir la declaración general.

Teorema. Deje $f\,:\,\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}^M$ ser suave (es decir, $f\in\mathcal{C}^1$). Si el conjunto de puntos críticos de $f$es un valor nulo, es decir,

$\mu\left(\left\{x\in\mathbb{R}^N : \text{rank} \left(Df(x)\right)<\min\left\{M,N\right\}\right\}\right)=0,$

a continuación, $\mu\left(f^{-1}(B)\right)=0$ para cualquier null-establecer $B$.

La prueba de la siguiente manera desde el IFT y Fubini (o, más precisamente, la co-área de fórmula) acaba de hacer como antes.

Answer 2

No sé sobre el teorema de la función implícita, pero puede una relacionada con el teorema, el Local de la Inmersión Teorema. Con sus anotaciones, a nivel local en torno $a$, $f$ se parece a una de las proyecciones en la primera coordenada. Usted está a la izquierda para demostrar que $$p:(x_1,\dots,x_d)\in\Bbb{R}^d\mapsto x_1$$ tiene la propiedad de que $$(B\text{ has measure zero})\Longrightarrow (\{p\in B\}\text{ has measure zero}).$$ Pero $\{p\in B\}=B\times\Bbb R^{d-1}$ así que se puede concluir.