Ejemplo de funciones meromorfas no constantes

Question

Esta es una pregunta básica, pero he encontrado que es demasiado duro para encontrar una respuesta (lo que significa que sus increíblemente trivial o no-trivial!)

Hay ejemplos de compacto complejos colectores (de dimensión al menos 2) que no admiten ningún global, no constante, meromorphic funciones?

Por supuesto, esta pregunta puede ser formulada en un número de maneras. Para uno, hay un ejemplo de un pequeño complejo colector de que no admiten racional mapa en un espacio proyectivo? Equivalentemente, hay un ejemplo de un pequeño complejo colector, que no admite un sistema lineal con una base de locus de al menos codimension 2?

Answer 1

Sí.

El genérico de Hopf surfaces (superficies diffeomorphic a $S^3\times S^1$, o, equivalentemente, $\mathbb{C}^2-0$ cociente por una infinita grupo cíclico $\Gamma\subset GL(2,\mathbb{C})$) son un ejemplo. Básicamente si $\Gamma$ es generado por una matriz de $A$ con distintos autovalores (WLOG $A=\operatorname{\mathrm{diag}}(\lambda_1,\lambda_2)$), luego la existencia de la no-constante de la función de meromorphic $f/g$ da dos holomorphic funciones de $f,g$ a $\mathbb{C}^2$ por Hartog y por lo tanto el uso de $\Gamma$invariancia y teniendo en cuenta los términos de orden más bajo cuando usted claro denominadores, consigue $\lambda_1^m=\lambda_2^n$ para algunos $m,n$.