Si cada elemento no identitario de un grupo es de orden $2$ el grupo es abeliano

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo. Demostrar que si cada elemento no identitario de $G$ tiene orden $2$ entonces $G$ es abeliana.

Prueba:

Dejemos que $a,b $ sean elementos no identitarios en $G$ . Desde $|a|=|b|=2$ , lo que significa que $ab=babaab$ $=$ $ba$ .

¿Es correcta la prueba? ¿Cómo puedo mejorarla?

Answer 1

Prueba alternativa : $a^2=1$ por lo que cada elemento es su inverso.

Así que, $(ab)^{-1}=ab$ pero $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$ utilizando dos veces más la observación.

Answer 2

Su prueba es correcta.

Puedes mejorarlo haciendo las derivaciones más claras (como has hecho en los comentarios).