$C_1$ y$C_2$ no se cruzan si se traducen en un disco convexo

Question

Deje $C$ ser un disco convexo en el avión, y $C_1$ e $C_2$ dos traduce de $C$. Demostrar que $C_1$ e $C_2$ no son de cruce, es decir, no es posible que tanto $C_1 - C_2$ e $C_2 - C_1$ son no-conectados.

Necesito este resultado para un problema diferente, pero mi comprensión de la topología y la conexión es muy débil. ¿Qué sería una solución efectiva?

EDIT: UN disco convexo es un compacto, convexo región del plano con un no-vacío interior.

Answer 1

Nota: voy a asumir que la media de los discos en el sentido más literal: La parte interior de un círculo, junto con el límite.

De hecho, ambos de $C_1-C_2$ e $C_2 -C_1$ están conectados.

Observar primero para $D_1,D_2$ de los perímetros de $C_1,C_2$ , respectivamente, que $D_1 \cap C_2$ está conectado. Esto es claro si $D_1=D_2$ o $C_1 \cap C_2 =\varnothing$. De lo contrario, $D_1 \cap D_2$ tiene uno o dos puntos. En el primer caso $C_1,C_2$ son tangentes y claramente $C_1-C_2$ e $C_2 -C_1$ están conectados. En el segundo caso $D_1 \cap D_2 = \{a,b\}$ e $D_1 \cap C_2$ es uno de los dos arcos en $D_1$ de $a$ a $b$.

Ahora vamos a $c,d \in C_2 - C_1$ ser arbitraria. Existe un disco de $C'_1$ con el mismo centro de $C_1$ , pero estrictamente radio más grande, con $c,d \notin C_1'$. Por ejemplo supongamos $r$ ser el menor de los dos distancias de $c,d$ a $D_1$ y aumentar el radio por $r/2$. Por la misma lógica de $D_1' \cap C_2$ es un arco $A$. Reducción $A$ ligeramente a $A'$ podemos asegurar $A' \subset C_2$.

Ahora vamos a $l_1,l_2$ ser líneas segmentos que unen $c,d$ algunos $y \in A'$. Se trata de un ejercicio para mostrar $l_1,l_2 \subset \overline{(\mathbb R^2 - C_1')} \subset \mathbb R^2 - C_1$. También desde $C_2$ es convexo y contiene $y,c \in C_2$ también contiene el segmento de línea entre ellos, del mismo modo $l_2 \subset C_2$.

De ello se desprende $l_1 \cup l_2 \cup A' \subset C_2 - C_1$ está conectado a un conjunto que contiene a$\{c,d\}$. Por lo tanto los dos puntos tienen la misma componente conectado en $C_2 - C_1$. Desde los puntos son arbitrarios sólo hay un componente conectado.

Por la simetría lo mismo vale para los $C_2 - C_1$.

Answer 2

A continuación una prueba, en el caso de $C$ es estrictamente convexa, es decir, sus límites no contiene degenerada de los segmentos de línea. Uno puede modificar la prueba para incluir general delimitada subconjuntos convexos. Puedo hacerlo una vez que entiendo la motivación detrás de la pregunta.

Deje $C$ ser estrictamente convexa subconjunto de ${\mathbb R}^2$ y deje $v\in {\mathbb R}^2$ ser un vector distinto de cero. A continuación, cada línea paralela a $v$ cruza el límite de $C$ 0, 1 o 2 puntos. Por lo tanto, uno puede elegir coordenadas Cartesianas en ${\mathbb R}^2$ , de modo que $v$ es paralelo al eje y y las coordenadas de, digamos, $(0,a)$, $a>0$. Con respecto a estas coordenadas, hay dos funciones de $f, g$ definida en un intervalo compacto $I\subset {\mathbb R}$ tal que $C$ puede ser descrito por las desigualdades $$ C=\{(x,y): g(x)\le y\le f(x), x\in I\}, $$ donde $f$ es cóncava y $g$ es convexa. Del mismo modo, $$ C+v= \{(x,y): g(x)+\le y\le f(x)+a, x\in I\} $$

La clave de la prueba es:

Lema 1. Los límites de $C$ e $C+v$ se intersecan en dos puntos.

Prueba. Tenga en cuenta que $C$ está limitada por las gráficas de $f$ e $g$, mientras que $C+v$ está limitada por las gráficas de $f+a, g+a$. Desde $a>0$, gráficos de $f$ e $f+a$ son distintos, los gráficos de $g, g+a$ son distintos y los gráficos de $g, f+a$ son también distintos. Sólo los gráficos de $g+a$ e $f$ puede intersectar. Este, el lema se reduce a la afirmación de que la gráfica de una estrictamente convexa de la función $h_1$ puede intersectar la gráfica de una estrictamente cóncava función de $h_2$ en más de dos puntos. Esta afirmación de la siguiente manera desde la estricta convexidad de la subgrafo de $h_2$ y el epígrafe de $h_1$ lo que implica que la convexidad de la intersección de la subgrafo con el epígrafe. qed

Ahora, dados dos conjuntos convexos $C_i=C+v_i, i=1,2$ como en tu pregunta, tenemos que $C_2= C_1 + (v_2-v_1)$. Establecimiento $v=v_2-v_1$, podemos ver que $C_2$ es una traducción de $C_1$. Por lo tanto, el Lema 1 se aplica a los conjuntos de $C_1$, $C_2$ y llegamos a la conclusión de que, o bien son iguales (si $v=0$) o de sus límites se cruzan en dos puntos.

A partir de ahora, no necesitamos que la convexidad y el problema se reduce a:

Lema 2. Supongamos que $D_1, D_2$ son dos cerrados topológico discos en $R^2$ delimitada por las curvas de Jordan $J_1, J_2$ que se cruzan en más de dos puntos. A continuación, la complementa $$ E_1=D_1\setminus D_2, \quad E_2=D_2\setminus D_1 $$ ambos están conectados.

Prueba. Si $J_1\cap J_2$ está vacía, así que es $D_1\cap D_2$; si $J_1\cap J_2$ es un único punto, por lo que es $D_1\cap D_2$. (Aquí y a continuación yo estoy usando la de la curva de Jordan teorema.) Supongamos, por tanto, que $J_1\cap J_2=P=\{p_1, p_2\}$, $p_1\ne p_2$. Entonces el subconjunto $P$ divide cada una de las $J_i$ en dos (compacto) topológica arcos: $a_i, b_i$. Después de reetiquetado, $E_1=D_1\setminus D_2$ está delimitado por $K_1=a_1\cup b_1$ mientras $E_2=D_2\setminus D_1$ está delimitado por $K_2=a_2\cup b_2$. Desde $a_i\cap b_i=P$ ($i=1,2$), es de 2 puntos de set, llegamos a la conclusión de que tanto $K_1, K_2$ son curvas de Jordan. Cada Jordania curva que separa a ${\mathbb R}^2$ en dos componentes (uno limitado y con una ilimitada). Desde cada una de las $E_i$ es acotado, se deduce que en su interior se $int(E_i)$ está conectado. Por otra parte, $E_i$ es igual a la de cierre de $int(E_i)$ menos que el arc $b_i$, por lo tanto, $int(E_i)$ es denso en $E_i$. Si un espacio topológico es el cierre de la conexión de un subconjunto, que está conectado a sí mismo. Por lo tanto, cada una de las $E_i$ está conectado. qed

Answer 3

Suponga que $C$ es un compacto conjunto convexo que contiene abrir $r$-bola en origen de algunos de los $r>0$. A continuación, supongamos que $$C_1=C,\ C_2=C+(t,0),\ t>0$$

A continuación, supongamos que $C$ es de $\{ -1\leq y\leq 1\}$ e $y=\pm 1$ es un el apoyo de la línea.

Cuando $p_\pm \in \partial C$ tiene un apoyo de la línea de $y=\pm 1$s.t. $x$-coordenadas de $p_\pm$ son los más bajos, entonces hay una curva de $c\subconjunto \partial C$ between $p_\pm$ s.t. $c\bigcap C_2=\emptyset$

A continuación, $D\bigcap C$ está conectado donde $D$ es un dominio cerrado por $c,\ c+(t,0),\ y=\pm 1$. Para demostrar que $D\bigcup C$ contiene $C-C_2$

Prueba : Supongamos que $q\in C-C_2 $ no es en $D\bigcap C$. Por lo tanto, no es $T$ s.t. $q$ está en la línea de $ y=T$. Deje $q_c \in c\bigcap \{y=T\}$. Por lo tanto, un segmento de la línea de $[q_c q]$ es de $C$ , de modo que la traducción $[q_c+(t,0)\ q+(t,0)]$ es de $C_2$. Aquí $[q_c+(t,0)\ q+(t,0)]$ contiene $q$, lo cual es una contradicción.