Si $x^2=x$ entonces $x=1$ . ¿Esta afirmación es verdadera o falsa?

Question

Entiendo que esta ecuación tiene dos soluciones, es decir $x=1$ o $x=0$ . Pero si dices que esta afirmación es falsa, es como decir que $x=1$ no es la solución de la ecuación. Si una cesta contiene $2$ manzanas y $1$ naranja, y digo que la cesta contiene $2$ manzanas. ¿Hay algo malo? ¿Alguien tiene un buen argumento a favor o en contra?

Answer 1

La verdad no es universal como nos gustaría pensar. Es relativa al contexto.

En los números reales, o los enteros, o algo similar donde $0^2=0$ y $1^2=1$ la afirmación es falsa. Porque hay un contraejemplo, $0^2$ .

Si el contexto es algo como $\Bbb N$ y $0\notin\Bbb N$ (recuérdese que en algunos contextos $0$ es un número natural, y en otros contextos no lo es), entonces la afirmación es cierta. Porque en el número natural positivo, hay una solución única para $x^2=x$ y es $x=1$ .

Answer 2

Una parte del problema lógico de la inversión de implicaciones:

$$x=1\Rightarrow x^2=x\qquad \text{is different from}\qquad x^2=x\Rightarrow x=1$$

Si no se especifica la naturaleza de $x$ que la afirmación es en gran medida falsa en general, ya que no es cierto que $x^2=x\Rightarrow x=0,1$ . Por otra parte, existen estructuras algebraicas en las que la afirmación es cierta.

Ejemplo.

Sea $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ sea la proyección sobre $XY$ -a lo largo del $Z$ -Eje.

Entonces, para cada $p\in\mathbb R^3$ tienes $f(f(p))=f(p)$ . Así $f^2=f$ . No obstante $f$ es diferente de $1$ (la identidad) y $0$ (el mapa cero.)

Cuando la afirmación es cierta:

Si se encuentra en una Grupo donde existe una identidad única y todos los elementos son invertibles, entonces por la ley de cancelación (es decir $ax=bx\Rightarrow a=b$ ) tiene $$x\cdot x=1\cdot x\Rightarrow x=1$$

Answer 3

En $$p\implies q\vee r$$ no se puede concluir $$p\implies q$$ Para su ejemplo: $0^2=0$ pero $0\ne 1$ .

Answer 4

La diferencia entre lo de las frutas y $x^2=x$ es que $x^2=x$ es equivalente a $x = 0$ o $x = 1$ . En lo de las frutas, dijiste 2 manzanas Y 1 naranja.