Una función multivariable que satisface 3 condiciones.

Question

Deje $f(x,y)$ ser multi función de variable que se define al $\frac{x}{2}<y <x $ , y quiero saber si hay una función que satisface :

1 ) $f(x-1,y) > f(x,y)$

2 ) $f(x-1,y-\ln x) > f(x,y)(1-\frac{1}{x})$

3 ) $|f(x,y) - \ln x| < \frac{1}{\sqrt{x}}$ cuando $|y- x| < 3\ln x$, esta condición puede ser aflojado decir $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ o más (pero para un fijo de potencia constante).

Creo que esa función no existe, simplemente no tengo una prueba.

Por favor, dar una prueba de que tal función no existe o un ejemplo de una función de este tipo

Edit : estoy interesado como $x \to \infty$ cómo la función de comportarse, también estoy asumiendo que $f(x-1,y),f(x-1,y-\ln x),f(x,y)$ están todos definidos.

Por ejemplo, la función de $f(x,y) = \ln (x) +1-\frac{x}{y}$ satisface las condiciones de $1,3$ pero no satisface $2$.

Answer 1

SUGERENCIA

$\color{brown}{\textbf{Domains and unknowns.}}$

Tomando en cuenta la condición de $$\frac x2 < y < x$$ expresiones $f(x,y)$ e $f(x-1)$ existe en el mismo tiempo si $$\frac x2 < y < x-1,\quad x \in [2,\infty).\tag1$$

Desde $$\dfrac x2-n\ln x = \dfrac t2-n\ln t + \left(\dfrac12 -\dfrac nt\right)(x-t) +\dfrac n{2t^2}(x-t)^2 - \dfrac n{3t^3}(x-t)^3+\dots,$$ a continuación, $y-n\ln x > g_n(x,t),$donde $$g_n(x,t) = \dfrac t2-n\ln t + \left(\dfrac12 -\dfrac nt\right)(x-t) +\dfrac {3n}{2}\dfrac{(x-t)^2}{2x+t}.\tag2$$ En particular, $y-\ln x > g_1(x,2),$o $$y-\ln x > \ln\frac e2 + \frac38\,\frac{(x-2)^2}{x+1},\quad\text{where}\quad x>2,\tag{3a}$$ con el coeficiente angular de cero a ${\large\frac38}$ (véase también el Wolfram Alpha de la parcela).

La pendiente $k=g'_2(t) = {\large \frac38 \frac{(t-2)(t+4)}{(t+1)^2}}$ de la línea tangente $AB,$ donde $A=(0,2)$ e $B=(t,g(t)),$ puede ser obtenido a partir de la condición de $g(t) = k(t-2),\phantom{\Big|}$ o $$\ln\frac e2 +\dfrac38 \left(\dfrac{t-2}{t+1}\right)^2(t+1-(t+4)) = 0,$$ con la solución $$t = \frac{q+2}{1-p},\quad k = \frac38 \frac{(t-2)(t+4)}{(t+1)^2},\quad\text{donde}\quad q=\frac{2\sqrt{2\ln{\Large\frac e2}\phantom{\bigg|}}}3, \quad \dbinom tk \approx \dbinom{5.279}{0.289\,412}.$$ Entonces $$\dfrac{y-\ln x}{x 2}\en \begin{cases}\left(\dfrac27,\infty\right),\quad\text{if}\quad x\in(2,\infty)\\ \left(\dfrac27,\dfrac12\right),\quad\text{if}\quad x\in(3,\infty). \end{casos}\etiqueta{3b}$$

Dominio de la tercera condición $$y>x-3\ln x$$ es real si $x> 3\ln x,$ o $x>u,$donde $$u = e^{-\large W_{\large-1}\left({\large-\frac13}\right)}\approx 4.536\,403\,655,\tag4$$ donde $W_{-1}(x)$ es la continuación analítica de Lambert $W$ función (ver también Wolfram Alpha solución y cálculos).

A continuación, $x-3\ln x > 2g_{3/2}(x,u),$o $$x-3\ln x>\frac{x-u}{2u}\,\frac{(4u-3)(x-u)+6u(u-3)}{2x+u},\quad\text{if}\quad x\in(u,\infty),\tag{5a}$$ con el coeficiente angular cambiando ${\large\frac{u-3}{u}}\approx0.339$ a ${\large\frac{4u-3}{4u}}\approx0.835$ (véase también el Wolfram Alpha de la parcela).

Entonces $$\dfrac{x-3\ln x}{x-u}\in \left(\dfrac{1}{3},1\right), \quad\text{if}\quad x\in(u,\infty).\tag{5b}$$

$\color{brown}{\textbf{Mltiplicative model.}}$

Tratemos de función de búsqueda de $f$ en el multiplicativo forma de

$$f(x,y) = X(x)Y(y).\tag6$$

Tomando en cuenta $(1)-(5),$ consideremos el sistema de condiciones en el formulario de $$\begin{cases} X(x-1)\,Y(y) > X(x)\,Y(y),\quad\text{if}\quad x>2\\[4pt] X(x-1)\,Y\left(y-\ln x\right)> \dfrac{x-1}x\,X(x)\,Y(y),\quad\text{if}\quad x>2\\[4pt] |X(x) Y(x-3\ln x) - \ln x| < \dfrac1{\sqrt x},\quad\text{if}\quad x>u\\[4pt] |X(x) Y(x-1) -\ln x| < \dfrac1{\sqrt x},\quad\text{if}\quad x>u\\ y\in\left(\dfrac x2,x-1\right)\\ y-\ln x \in\left(\dfrac{2(x-2)}7, \dfrac{x-2}2\right)\\ x-3\ln x \in \left(\dfrac{x-u}3, \dfrac{x-u}2\right), \end{casos}\tag7$$ donde $u$ está dado por $(4).$

Suponga $X(x)$ e $Y(y)$ monótona de las funciones positivas.

Facilidad para ver que la primera condición se satisface si la función de $X(x)$ disminuye en el intervalo de $(2,\infty).$

Tomando en cuenta $(1),$ la tercera condición en la forma $(7.4)$ significa que la producción de $X(x)Y(y)$ infinitamente aumenta cuando $x\to\infty.$ Así, la función $Y(y)$ aumenta en el intervalo de $(1,\infty).$

Teniendo en cuenta el aumento del factor de $\frac{x-1}x$ en la $\textbf{second condition},$ función de $X(x)$ debe contener la disminución del factor de ${\large\frac1x}.$ Tomando en cuenta $(7.4),$ debe contener logarítmica del factor. Es posible, debido a que la producción $x^{-1}\ln^p(x+1)$ disminuye en el intervalo de $x\in(1,\infty)$ si $p\in(0,1].$

Tomando en cuenta $(3a),$ se ve que las funciones $$X(x) = \left(\ln(x+1)\right)^p x^{-q},\quad Y(y)= C\, \left(\ln(x+1)\right)^r(2y)^{-s}\tag8$$ puede ser la solución para ciertos valores positivos de $p,q,r,s,$

También, puede ser útil la función de $\dfrac{\ln^p\left(x+q\right)}{x},$ que disminuye si $p\in[0,2],\,q\ge \dfrac{223}{168}\, \left(q=\dfrac43\right).$

Answer 2

La versión de 13.05.19

$\color{brown}{\textbf{Domains and unknowns.}}$

Tomando en cuenta la condición de $$\frac x2 < y < x$$ expresiones $f(x,y)$ e $f(x-1)$ existe en el mismo tiempo si $$\frac x2 < y < x-1,\quad x \in [2,\infty).\tag1$$

Serie de Taylor para la función logarítmica en $x=t$es $$\ln x = \ln t + \dfrac{x-t}t - \dfrac{(x-t)^2}{2t^2} + \dfrac{(x-t)^3}{3t^3}+\dots,$$ así $$\ln x\in[\lambda(x,t),\Lambda(x,t)],\tag{L1}$$ donde $$\lambda(x,t) =\ln t +\dfrac1t\dfrac{x t}{1+{\large\frac{x t}{2t}}} = \ln t + 2\dfrac{x t}{x+t},$$ $$\Lambda(x,t) = \ln t + \dfrac{x-t}t - \dfrac1{2t^2}\dfrac{(x-t)^2}{\large1+\frac23\frac{x-t}t} = \ln t + \dfrac1t -\dfrac3{2t}\dfrac{(x-t)^2}{2x+t}$$ $$= \ln t +\dfrac{x t}{2}\dfrac{2(2x+t)-3(x-t)}{2x+t} = \ln t +\dfrac{(x-t)(x+5t)}{2t(2x+t)},$$

$$\lambda(x,t) = \ln t + 2\dfrac{x t}{x+t}, \quad \Lambda(x,t) = \ln t +\dfrac{(x-t)(x+5t)}{2t(2x+t)}.\la etiqueta{L2}$$ $$\lambda(x,2) = \ln 2 + 2\dfrac{x 2}{x+2}, \quad \Lambda(x,t) = \ln 2 +\dfrac{(x-2)(x+10)}{8(x+1)}.\la etiqueta{L3}$$ Entonces $$\dfrac x2 - \ln x \in\left(\ln\dfrac e2 +\dfrac38\dfrac{(x-2)^2}{x+1},\, \ln\dfrac e2 +\dfrac12\dfrac{(x-2)^2}{x+2}\right)\quad x\in(2,\infty)\etiqueta{2}$$ (ver también Wolfram Alpha parcela),

$$x-1 - \ln x \in\left(-\ln2e +\dfrac18\dfrac{7x^2+20}{x+1},\, -\ln2e +\dfrac{x^2+4}{x+2}\right)\quad x\in(2,\infty)\etiqueta{3}$$ (ver también Wolfram Alpha de la parcela).

Dominio de la tercera condición $$y>x-3\ln x$$ es real si $x> 3\ln x,$ o $x>u,$donde $$u = e^{-\large W_{\large-1}\left({\large-\frac13}\right)}\approx 4.536\,403\,655,\tag4$$ donde $W_{-1}(x)$ es la continuación analítica de Lambert $W$ función (ver también Wolfram Alpha solución y cálculos).

Tomando en cuenta $(\mathrm L2),$ uno puede escribir $$x-3\Lambda(x,u) = x - 3\left(\ln u +\dfrac{(x-u)(x+5u)}{2u(2x+u)}\right) = x - u - 3\dfrac{(x-u)(x+5u)}{2u(2x+u)} = \dfrac{(x-u)(x-7)}{2u(2x+u)},$$

$$x-3\lambda(x,u) = x - 3\left(\ln u + 2\dfrac{x-u}{x+u}\right) = x-u-6\dfrac{x-u}{x+u} = \dfrac{(x-u)(x+u-6)}{x+u}$$

A continuación, $x-3\ln x > 2g_{3/2}(x,u),$o $$x-3\ln x \in\left(\dfrac{(x-u)(x-7u)}{2u(2x+u)},\dfrac{(x-u)(x+u-6)}{x+u}\right),\quad\text{if}\quad x\in(u,\infty),\tag{5}$$ (ver también Wolfram Alpha de la parcela).

$\color{brown}{\textbf{Mltiplicative model.}}$

Tratemos de función de búsqueda de $f$ en el multiplicativo forma de

$$f(x,y) = X(x)Y(y).\tag6$$

Tomando en cuenta $(1)-(5),$ consideremos el sistema de condiciones en el formulario de $$\begin{cases} X(x-1)\,Y(y) > X(x)\,Y(y),\quad\text{if}\quad x>2\\[4pt] X(x-1)\,Y\left(\dfrac x2-\ln x\right) > \dfrac{x-1}x\,X(x)\,Y(\dfrac x2), \quad\text{if}\quad x>2\\[4pt] X(x-1)\,Y\left(x-1-\ln x\right)> \dfrac{x-1}x\,X(x)\,Y(x-1), \quad\text{if}\quad x>2\\[4pt] |X(x) Y(x-3\ln x) - \ln x| < \dfrac1{\sqrt x},\quad\text{if}\quad x>u\\[4pt] |X(x) Y(x-1) -\ln x| < \dfrac1{\sqrt x},\quad\text{if}\quad x>u\\ y\in\left(\dfrac x2,x-1\right)\\ \dfrac x2 - \ln x \in\left(\ln\dfrac e2 +\dfrac38\dfrac{(x-2)^2}{x+1},\, \ln\dfrac e2 +\dfrac12\dfrac{(x-2)^2}{x+2}\right),\quad x\in(2,\infty)\\[4pt] x-1 - \ln x \in\left(-\ln2e +\dfrac18\dfrac{7x^2+20}{x+1},\, -\ln2e +\dfrac{x^2+4}{x+2}\right),\quad x\in(2,\infty)\\ x-3\ln x \in\left(\dfrac{(x-u)(x-7u)}{2u(2x+u)},\dfrac{(x-u)(x+u-6)}{x+u}\right),\quad\text{if}\quad x\in(u,\infty)\\ \end{casos}\tag7$$ donde $u$ está dado por $(4).$

Suponga $X(x)$ e $Y(y)$ monótona de las funciones positivas.

Facilidad para ver que la primera condición se satisface si la función de $X(x)$ disminuye en el intervalo de $(2,\infty).$

Tomando en cuenta $(1),$ la tercera condición en la forma $(7.4)$ significa que la producción de $X(x)Y(y)$ infinitamente aumenta cuando $x\to\infty.$ Así, la función $Y(y)$ aumenta en el intervalo de $(1,\infty).$

Teniendo en cuenta el aumento del factor de $\frac{x-1}x$ en la $\textbf{second condition},$ función de $X(x)$ debe contener la disminución del factor de ${\large\frac1x}.$ Tomando en cuenta $(7.5),$ debe contener logarítmica del factor. Es posible, debido a que la producción $x^{-1}\ln^p(x+1)$ disminuye en el intervalo de $x\in(1,\infty)$ si $p\in(0,1].$

Se ve que las funciones $$X(x) = \left(\ln(x+1)\right)^p x^{-q},\quad Y(y)= C\, \left(\ln(x+1)\right)^r(2y)^{-s}\tag8$$ puede ser la solución para ciertos valores positivos de $p,q,r,s,$

También, puede ser útil la función de $\dfrac{\ln^p\left(x+q\right)}{x},$ que disminuye si $p\in[0,2],\,q\ge \dfrac{223}{168}\, \left(q=\dfrac43\right).$