Contando el número de raíces reales de un polinomio

Question

Estoy interesado en la solución de problemas que implican encontrar el número de bienes raíces de cualquier polinomio.

Supongamos que tomar una función $$f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$ Esto no tiene raíces reales, pero estoy tratando de averiguar si existe alguna de las analíticas de manera que no implique la grafica, para llegar a esta conclusión.

El uso de Descartes' Regla de los Signos, hay cero de la señal de los cambios en la $f$ así que por virtud de la cual no hay ninguna positivo que las raíces del polinomio. Considerando $$f(-x) = x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$$ llegué a la conclusión de que hay 6 negativos, 4 negativos, 2 negativo o cero negativo raíces. Así que tengo 4 casos a considerar :

• 0 positivo raíces, 6 negativos raíces, 0 raíces complejas
• 0 positivo raíces, 4 negativos raíces, 2 raíces complejas
• 0 positivo raíces, 2 negativos raíces, 4 raíces complejas
• 0 positivo raíces, 0 negativo raíces, 6 raíces complejas (mayúsculas o minúsculas)

He intentado diferenciar $f$ pero la derivada es igual de malo $$f'(x) = 6x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1$$ no puedo concluir nada de esto.

Traté de ir sobre el problema de otra manera. Si un polinomio con un grado siempre es positivo o negativo dependiendo del coeficiente inicial, no tiene raíces, pero, de nuevo, la búsqueda de los extremos de la función está demostrando ser extremadamente difícil.

He intentado usar Bolzano Teorema del Valor Intermedio. Se garantiza la existencia de al menos una raíz, pero, de nuevo, hay una posibilidad de que podría haber más de uno que sólo puede ser eliminado por la monotonía que otra vez me lleva de vuelta a la mala derivados.

Yo creo que son necesarias algunas reglas generales que por virtud de la cual, somos capaces de calcular el número de raíces de cualquier polinomio.

• Es la representación gráfica de la mejor técnica para polinomios como estos, y si lo es, hay alguna forma mediante la cual una rápida pero precisa de la parcela se pueden extraer?
• Mientras que la lectura sobre la teoría, me llegó a través de Sturm del Método y el de Newton-Raphson Método , pero no he tocado estos aún. Es absolutamente necesario saber estos conceptos de manera efectiva sacar conclusiones?
• He perdido de algo?

Answer 1

La mejor manera de resolver este problema es el uso del teorema de Sturm. Esto le da un algoritmo para calcular el número de los distintos verdaderas raíces de cualquier polinomio. La página de la Wikipedia es bastante buena, pero voy a esbozar el método aquí.

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Deje $f(x)$ ser un polinomio. Definimos una secuencia como la siguiente: $$P_0=f$$ $$P_1=f'$$ $$P_{n+2}=-P_{n}\text{ mod }P_{n+1}$$ donde $f'$ es la derivada del polinomio y, por polinomios $P$ e $Q$, definimos $P\text{ mod }Q$ a ser el resto de la división de $P$ por $Q$ - que es el único polinomio de $R$ de grado menor que $\deg Q$ tal que $P=cQ+R$ para algunos otros polinomio $c$. (Este es también el resultado que se obtiene por polinómica división)

Por ejemplo, supongamos que queremos saber cuántas raíces $f(x)=x^3+2x+1$ tiene el uso de este método - por supuesto, sabemos que la respuesta es $1$, pero debemos revisar. Tenemos la siguiente cadena: $$P_0=x^3+2x+1$$ $$P_1=3x^2+2$$ $$P_2=-\frac{4}3x-1$$ $$P_3=\frac{-59}{16}.$$

Para cualquier número real $a$, definimos $V(a)$ a ser el número de cambios de signo en la secuencia de $P_0(a),P_1(a),P_2(a),P_3(a)$, donde podemos omitir los ceros de la izquierda. Suponiendo que ni $a$ o $b$ son en sí mismos raíces, Sturm del teorema de los estados que $V(a)-V(b)$ es el número de raíces reales entre $a$ e $b$.

Tenga en cuenta que $V(-\infty)=\lim_{a\rightarrow-\infty}V(a)$ o $V(\infty)=\lim_{b\rightarrow\infty}V(b)$ son fáciles de calcular mirando el líder en términos de cada polinomio. Por ejemplo, aquí tenemos que $V(-\infty)=2$ desde, hacia la $-\infty$ tenemos que $P_0$ tiende a $-\infty$, $P_1$ a $\infty$, $P_2$ a $\infty$ e $P_3$ es negativo por lo tanto, dos cambios de signo. A continuación, $V(\infty)=1$ porque $P_0$ e $P_1$ son positivos cerca de $\infty$ e $P_2$ e $P_3$ son negativos. Este polinomio tiene $V(-\infty)-V(\infty)=1$ raíces, como era de esperar, ya que es una función creciente.

Esto puede ser un poco laborioso para hacer a mano, pero siempre funciona para cualquier polinomio.

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El único truco para que lo pruebe, al menos en la plaza libre de caso, es considerar lo que sucede a firmar cambios en esta secuencia como uno se mueve a lo largo de la línea real: El número de cambios de signo sólo puede cambiar cerca de la raíz de uno de los polinomios. Sin embargo, tenga en cuenta que, para algunos polinomio $c$, tenemos la siguiente relación: $$P_{n}=cP_{n+1}-P_{n+2}$$ Tenga en cuenta que si $P_{n+1}$ tiene una raíz en un lugar donde la $P_n$ no, luego que cerca de la raíz, $P_n$ e $P_{n+2}$ deben tener signos opuestos, ya que $P_n=-P_{n+2}$ en la raíz. Tan largo como $P_0$ fue squarefree (es decir, no tiene múltiples raíces), podemos notar que no hay términos consecutivos comparten una raíz, así que esto siempre sucede. Como resultado, el cero de $P_{n+1}$ no afecta al número de cambios de signo. Sin embargo, si $P_0$ tiene una raíz, entonces el número de cambios de signo disminuye en uno hay, pues, en un lugar cerca de la raíz, $f$ e $f'$ tienen signos opuestos antes de la raíz y signos de igual después.

Answer 2

Tu polinomio es un factor en $X^7-1 = (X-1)(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1)$ y entonces los ceros son las raíces 7 de las unidades. Solo hay una séptima raíz de unidades que es real y esto es $1$ . Los otros son todos complejos.

Answer 3

Hay una leve ambigüedad en el enunciado del problema. "el número de bienes raíces" puede, o no, el conde de múltiples raíces con la multiplicidad. Por ejemplo, $x^2 = (x-0)^2$, tiene dos indistinguible raíces en $0$, por lo que necesita para decidir cómo se cuenta para repetir raíces.

Usted podría seguir haciendo esto con Descartes' Regla de los signos y interseccion a través horizontalmente el cambio de su polinomio. Pero Sturm secuencias son una mucho mejor manera de avanzar.

Independientemente de su elección, usted debe hacer arreglos para que todas las raíces del polinomio para ser simple raíces (es decir, todos tienen la multiplicidad $1$). Así, en primer lugar, hemos de detectar y eliminar repetidos de raíces. Calcular $$ g(x) = \gcd(f(x), f'(x)) \text{.} $$ Si $g$ es una constante, entonces $f$ no tiene raíces repetidas. Si $g$ no es una constante, Entonces nos divida en dos subproblemas: las verdaderas raíces de $g$ son las raíces reales de $f$ (con varios multiplicites) y las verdaderas raíces de $h(x) = f(x)/g(x)$ son simples raíces reales de $f$. Para $g$, ejecutar el algoritmo que estamos describiendo en ella desde el principio. Para $h$, continúe con el paso siguiente.

Ahora hay dos maneras de proceder.

Método 1:

Cambio de su polinomio de la izquierda y la derecha y el uso de Descarte de la regla de los signos para saber cuántas raíces están a la izquierda y a la derecha de cero. Por ejemplo, $$ h(x-1) = x^6 - 5 x^5 + 11 x^4 - 13 x^3 + 9 x^2 - 3x + 1 $$ tiene seis signo de los cambios. Así que todas las raíces reales de $h$ se encuentran entre el $-1$ e $0$. $h(x-1/2)$ tiene cuatro cambios de signo, por lo que en la mayoría de los dos ceros de la mentira en $(-1,-1/2)$ y en la mayoría de los cuatro reales ceros mentira en $(-1/2,0)$.

Ahora mira a $h'(x)$ en el intervalo de $(-1/2,0)$. Queremos saber si $h'$ tiene raíces en ese intervalo, su multiplicidad, y sus ubicaciones, para que podamos determinar si la gráfica de $h$ se parece más a $\pm(x^2+1)$ o $\pm(x^2-1)$ en dicho intervalo. (No he hecho ningún intento de escala y cambio de estos para ese intervalo. En lugar de eso, queremos saber si $h$ cero, con una o dos raíces y vamos a averiguar de $h$ es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo en ese intervalo.) En realidad, esto puede conducir a una horrible árbol de la condicional de los casos.

Método 2:

Uso del teorema de Sturm. Construcción de la (Sturm) secuencia de restos en la aplicación del algoritmo de la división Euclídea a $h$ e $h'$. Deje $V(\xi)$ el número de signos de alteraciones (haciendo caso omiso de ceros) en el Sturm secuencia cuando sus miembros son evaluados en $x = \xi$. A continuación, $V(ab) - V(b)$ es el número de raíces reales en el intervalo de $(a,b]$.

Answer 4

Sugerencia: $x=0$ no es una solución, así que podemos escribir $$x^3+\frac{1}{x^3}+x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2}+1$$ now substitute $$t=x+\frac{1}{x}$ $ para que obtenga $$t^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}$$ and $$t^3-3t=x^3+\frac{1}{x^3}$ PS

Answer 5

Sugerencia:

$$(x-1)f(x)=x^7-1$$

Así, las raíces de $f(x)=0$ se $e^{2m\pi i/7}$ donde $m\equiv1,2,3,4,5,6\pmod7$

Ahora la parte imaginaria de $e^{2m\pi i/7}$ se $0$ si $2m\pi/7=n\pi$ para algunos entero $n$

$\implies m=\dfrac{7n}2\implies n$ debe ser $=2r$(decir) $\implies7\mid m$

lo que da una contradicción.