¿Por qué la divergencia de una constante de acoplamiento de QFT bajo el flujo de RG trivializa la teoría si ocurre en el UV pero no en el IR?

Question

Cuando usted primero aprender la teoría cuántica de campos, en algún momento de calcular la función beta (al líder de la orden) para un renormalizable constante de acoplamiento de la teoría como $\varphi^4$ teoría, la teoría de Yukawa, o QED. Usted encontrará que toma la forma

$$\mu \frac{dg}{d\mu} := \frac{dg}{d\log(\mu)} = \beta(g) = c\, g^p + o\left(g^{p+1} \right),$$

donde $c$ es positivo numérico constante que tiene un montón de trabajo para calcular, y $p$ es de 2 o 3 (según sus convenciones y la teoría en particular). Resolver esta ODA (descuidar la subleading correcciones) con la condición inicial $g(\mu_0) = g_0$, para obtener $$g(\mu) = \left[ \frac{1}{g_0^{p-1}}-c(p-1) \ln\left( \frac{\mu}{\mu_0} \right) \right]^{-\frac{1}{p-1}}.$$ Esta función aumenta con la $\mu$ y difiere en un número finito de valor de $\mu = \mu_0 \exp\left[ \frac{1}{c(p-1)g_0^{p-1}} \right] > \mu_0$ que es llamado el "Landau polo" (al menos en el contexto de QED). Su maestro gravemente explica que este Landau, el polo es un Problema Muy Serio: si $g_0 \neq 0$ entonces la teoría se convierte internamente inconsistentes en lo suficientemente altas energías (a menos que la nueva física se dispara a esas altas energías para modificar y, posiblemente, salvar la teoría). Por lo tanto, la única lógicamente coherente elección es $g_0 = 0$, lo que implica que $g(\mu) \equiv 0$ , y la teoría es "quantum trivial". Si tu maestro es particularmente cuidadoso, él o ella puede mencionar que no necesariamente podemos confiar en esta fórmula para $g(\mu)$ a altas energías, porque como $g$ se hace más grande, el descuido de los términos en la función beta llegar a ser importante.

Más adelante en el curso, se debe calcular la función beta (al líder de la orden) para nonabelian teoría de gauge. Usted obtiene el mismo resultado que el anterior, excepto que $c$ es negativo (a menos que el medidor de campo junto a un número suficientemente alto de los sabores de la materia de campo). Por lo tanto, $g(\mu)$ disminuye con la $\mu$, y la función diverge en algún valor de $\mu$ menos de $\mu_0$. Su maestro alegremente explica que esta es una buena característica de nonabelian teoría de gauge llamado "confinamiento", e indica que en lo suficientemente bajas energías (o, equivalentemente, lejos de las separaciones), las partículas se vuelven tan fuerte interacción que la teoría de la perturbación se rompe, y la teoría de los cambios cualitativos (como la elección natural de los constituyentes de la materia "partículas" de los cambios de color cargado de quarks a color neutral de hadrones).

¿Por qué la asimetría entre estos dos casos? En ambos casos, la teoría de la perturbación se rompe como el flujo en una dirección y la constante de acoplamiento se hace más fuerte y formalmente diverge. ¿Por qué es el primer caso descrito como una de las fundamentales de la patología que "banaliza" toda la teoría en todas las escalas de energía, mientras que el segundo caso es descrito simplemente como lo que indica un cambio cualitativo en la física descrita por la teoría?

Answer 1

¿Por qué es el primer caso descrito como una de las fundamentales de la patología que "banaliza" toda la teoría en todas las escalas de energía, mientras que el segundo caso es descrito simplemente como lo que indica un cambio cualitativo en la física descrita por la teoría?

Porque de la historia. La Landau polo fue descubierto en la década de 1950, cuando renormalization no fue bien entendido, e incluso divergencias en general, se considera a veces como una razón para tirar QFT. Landau, personalmente, fue fuertemente en contra de QFT y la utilizó como un garrote contra de ella. Libertad asintótica fue descubierto en la década de 1970, cuando tanto las divergencias de QFT y RG flujo entendieron, y fue una parte crucial de la comprensión de las interacciones fuertes, por lo que fue considerado como un triunfo de la QFT. Esta historia fue fosilizado y que se conservan en el estándar de QFT curso, que ha sido en gran parte transmitido de maestro a estudiante sin cambios durante décadas.

En ambos casos, la teoría se presenta fuertemente unido a cierta escala, y que no podemos realizar cálculos de forma fiable. En ambos casos, todavía queremos ser capaces de hacer de la física, y suelen hacer esto mediante la búsqueda de un nuevo conjunto de variables que están débilmente acoplados. Si hay una asimetría, es que los nuevos grados de libertad en el UV caso podría ser que no fueron contabilizadas en la teoría original, mientras que, en principio, todo lo que en el caso de IR está contenida en la teoría original.

Answer 2

La descripción de "banalización" es obsoleta y no muy fuerte. En un sistema más moderno de idioma, sólo significa que el nivel de energía descripción, decir $\phi^4$ teoría en $4d$, no es por sí mismo suficiente para definir una débilmente acoplado continuo QFT a menos que el acoplamiento es cero. Sin embargo, un punto clave es que la RG (flujo de integrar a cabo grados de libertad como ir de los altos a bajas energías) borra la información. Eso significa que, como cuestión de principio, no puede fluir hacia arriba en energía. Así que es muy posible, que existe una continuidad QFT con un montón de interesantes dinámica (muchos campos nuevos) a altas energías, pero en las distancias largas esta supuesta teoría parece a $\phi^4$ teoría. La interesante y agudo pregunta es, por tanto, no si "$\phi^4$ teoría es trivial", es si $\phi^4$ teoría admite un UV de finalización, y si es así, que uno(s). La pregunta es sin embargo muy complicado y que no pueden ser respondidas utilizando métodos conocidos.

Yendo en la otra dirección (que fluye hacia abajo) es un procedimiento definido: si usted sabe de una teoría en un escala de la energía $E_0$, al menos en principio, se puede calcular una acción eficaz en cualquier escala de la energía $E < E_0$. Tal vez su teoría se convertirá en más y más fuertemente unido a medida que disminuye $E$ así teoría de la perturbación se vuelve inútil, pero en ese caso se puede, al menos en teoría, el uso de un método numérico para calcular lo que usted desea (en la práctica, no siempre es tan fácil).