Estoy tratando de encontrar una integral de superficie $$\iint_Syz\ dS$$ de un segmento de cilindro donde $S$ es la parte de $x^2 + y^2 = 1$ con $x 0$ y $z$ entre $z = 2$ y $z = 5 y$ .
He pensado que debería haber dos formas de hacerlo. La primera es utilizar coordenadas rectangulares, y hacer esto
$$x=f(y,z)$$
$$||n||=\sqrt{(f_y)^2+(f_z)^2+1}$$
$$={1\over \sqrt{1-y^2}}$$
$$\int_{-1}^1\int_2^{5-y}\ {yz\over \sqrt{1-y^2}} \, dz \, dy =-\frac{5\pi}{2} \approx -7.854$$
También he probado a parametrizar el cilindro con
$$r_z(z,\theta)=\left<0,0,1\right>$$ $$r_{\theta}(z,\theta)=\left<-\sin\theta,\cos\theta,0\right>$$ $$||n||=\sqrt{(-\sin\theta)^2+(\cos\theta)^2+0^2}=1$$ $$\int_{0}^\pi\int_2^{5-\sin\theta}\ z\sin\theta \, dz \, d\theta \approx 13.813$$
¿Por qué recibo soluciones diferentes? Pensé que podría tener que ver con el hecho de que el primer enfoque está teniendo en cuenta las partes negativas de $y$ , y de hecho cuando lo eludo obtengo la misma solución que la parametrización:
$$2\int_{0}^1\int_2^{5-y}\ {yz\over \sqrt{1-y^2}} \, dz \, dy \approx 13.813$$
Pero todavía no tengo claro cuál es el enfoque correcto y por qué.
