de trabajo

Question

Encontrar el fundamento de la $H = \{(x_1, x_2, x_3) \in \Bbb Z^3 | 6 \text{ divides } 2x_1+3x_2+4x_3\}$.

Mi intento fue para decir que $$\{(3,0,0), (0,2,0), (0,0,3)\}$$ is the basis, since this automatically allows every element in $H$ to be divided by $6$. No sé la respuesta, pero al parecer me equivoque.

Me gustaría un poco de ayuda en este problema, y un método general para resolver estos tipos de problemas se agradece.

edit: al Parecer, la respuesta (o respuestas) es $\{(3,0,0), (-6,2,0), (-2,0,1)\}$. Todavía no puedo entender por qué, o cómo obtener la respuesta, sin embargo.

Answer 1

Tenemos $2(x_1-x_3)+3x_2 = 6k$. Deje $y = x_1-x_3$ y considerar la posibilidad de $2y+3x_2 = 6k$. Tiene una base $(y,x_2) = (3,0),(0,2)$.

Por lo tanto podemos considerar $x_2$ como independiente. Tenemos el primer vector $(x_1,x_2,x_3) = (0,2,0)$.

Para $(y,x_2) = (3,0)$, se puede dividir para dos vectores $(x_1,x_2,x_3) = (3,0,0),(1,0,1)$, considerando el problema de $x_1-x_3 = 3m$.

Por lo tanto, $(0,2,0),(3,0,0),(1,0,1)$ es una base. Usted puede comprobar que su base se puede obtener por esta base, y viceversa.