¿Las funciones invariables forman una (sub) variedad de Banach en los espacios funcionales?

Question

Deje $G$ ser un grupo topológico, y $X$ algunas funciones del espacio; preferiblemente un espacio de Sobolev $X=W^{1,p}(\Omega)$, donde $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es algún subconjunto invariante ($g\Omega \subset \Omega$) o todo el espacio.
Deje $G$ ser representado como lineal, continua a los operadores de $\pi(g)$ a $X$ en el formulario $$\pi(g)f(x)=f(gx)$$
¿El conjunto de funciones invariantes que satisfacer $$f(gx)=f(x)$$ forma una de Banach (sub)colector de $X$?
Necesitamos hacer suposiciones adicionales en el grupo (e.g.grupos compactos)? Como un ejemplo, considere la posibilidad de $G=O(n)$ el grupo ortogonal. ¿El conjunto de radial simétrica funciones forman una de Banach (sub)colector de $X$?
Siéntase libre de modificar y agregar supuestos, si es necesario, como no estoy muy familiarizado con este campo. Estoy muy agradecido de cualquier referencia, sugerencia o comentario!

Answer 1

En la mayoría de los casos forman un subespacio cerrado: es el subespacio, porque si $f$ e $g$ son invariantes, entonces también lo es $f+g$ o $\lambda f$. Cuando está cerrado o no depende de la norma, pero en el caso de $\sup$-norma o $L^2$ norma es.

El subespacio de tales funciones pueden ser consideradas como funciones en el espacio de órbitas $\Omega/G\Omega$, donde la medida inducida por la de $\Omega$.