¿Por qué el producto cruzado dar un vector que es perpendicular a un plano

Question

Me preguntaba si alguien me podría dar la intuición detrás de la cruz del producto de dos vectores $\textbf{a}$$\textbf{b}$. ¿Por qué su producto cruzado $\textbf{n} = \textbf{a} \times \textbf{b}$ me da un vector que es perpendicular a un plano?

Sé que sólo puedo comprobar esto mediante el producto escalar, pero no estoy totalmente satisfecho con "simplemente funciona" respuesta =)

Gracias por la ayuda! =)

Answer 1

El determinante de la fórmula no es tan misterioso. Considerar el producto cruzado $\mathbf{v} = \langle a,b,c \rangle \times \langle d,e,f \rangle$ formal determinante

$$\det \left(\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a & b & c \\ d & e & f \end{array} \right)$$

donde $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ son los vectores de la base. Si por el contrario se considera $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ indeterminates y sustitutos de la $x, y, z$ para ellos, este determinante se calcula el producto escalar de a $\mathbf{v} \cdot \langle x, y, z \rangle$. Pero dejando $\langle x, y, z \rangle$ $\langle a, b, c \rangle$ o $\langle d, e, f \rangle$ da un cero determinante, por lo $\mathbf{v}$ es perpendicular a la de los últimos dos vectores, por lo tanto, el avión que se extienden, como Omnomnomnom dice.

Answer 2

Según el Prof. Josiah Willard Gibbs, uno de los fundadores de Análisis Vectorial, de la cruz (o sesgo) de producto se define como sigue en su 1881 folleto Análisis Vectorial - Dispuestas para el uso de los Estudiantes de Física

Definición: El sesgo producto de Un vector en el vector B es el vector de cantidad de C cuya dirección es la normal a la que los lados del plano de a y B, en el que la rotación de la a a la B, a través de un ángulo de menos de un de ciento ochenta grados parece positiva o contador- las agujas del reloj ; y cuya magnitud se obtiene multiplicando el producto de las magnitudes de a y B por el seno de la el ángulo entre a y B.

Esta definición, que viene de la boca del caballo, como lo fueron, es una definición geométrica. ¿Por qué entonces, ¿ estamos en el siglo 21. c. insisten en definir en términos de determinantes. El determinante de la "definición" es una consecuencia directa de la definición geométrica y la distributividad de productos cruzados $$\vec{\mathbf{w}}\times(\vec{\mathbf{u}}+ \vec{\mathbf{v}}) = \vec{\mathbf{w}}\times\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{w}}\times\vec{\mathbf{v}}$$ $$(\vec{\mathbf{u}}+ \vec{\mathbf{v}})\times\vec{\mathbf{w}} = \vec{\mathbf{u}}\times\vec{\mathbf{w}}+\vec{\mathbf{v}}\times\vec{\mathbf{w}}$$ ahora intenta ampliar $$(a_1\vec{\mathbf{i}}+a_2\vec{\mathbf{j}}+a_3\vec{\mathbf{k}})\times(b_1\vec{\mathbf{i}}+b_2\vec{\mathbf{j}}+b_3\vec{\mathbf{k}})$$ a ver que productos cruzados, de hecho, distribuir por encima, además, ver una prueba geométrica en la página 9 de http://www.math.oregonstate.edu/bridge/papers/dot+cruz.pdf

Answer 3

Vea lo que sucede cuando usted trate de tomar $(a\times b)\cdot a$ o $(a\times b)\cdot b$ (usted debe conseguir $0$). Si un vector es perpendicular a la base del plano, entonces es perpendicular a la que todo el plano. Así, el producto cruzado de dos (linealmente independientes) de los vectores, ya que es ortogonal a cada uno, es ortogonal al plano que abarcan.

También, mientras que usted está tratando de desarrollar una intuición para los productos cruzados, yo recomiendo este video

https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/proof--relationship-between-cross-product-and-sin-of-angle

y, mientras estamos allí, puede ser que vale la pena conocer cómo el ángulo de la fórmula para el punto de los productos proviene de la ley de los cosenos

https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/dot_cross_products/v/defining-the-angle-between-vectors

Answer 4

He aquí otra perspectiva: el producto cruzado es una especie de "alarmada" de la forma de volumen (también conocido como el factor determinante). Es decir, tenemos una función de $V(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})$ que determina el volumen se extendió por tres vectores; debido a que esta función es lineal en cada argumento, a continuación, podemos arreglar $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ y considerar esto como una función lineal $V_{\mathbf{a}\mathbf{b}}(\mathbf{c})$ que se lleva a los vectores de los números. Pero sabemos que cada función lineal $f(\mathbf{c})$ a partir de los vectores a los números es de la forma $\mathbf{v}\cdot\mathbf{c}$ para algunos vectores $\mathbf{v}$, por lo que podemos definir el producto cruzado de $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ a este vector $\mathbf{v_{\mathbf{a}\mathbf{b}}}$ tal que $V(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = \mathbf{v}_{\mathbf{a}\mathbf{b}}\cdot \mathbf{c}$. El producto entonces es ortogonal a$\mathbf{a}$$\mathbf{b}$, aproximadamente, debido a que la dirección perpendicular a ambos vectores es la que maximiza el volumen. Para un poco más sobre este enfoque, véase mi respuesta aquí.

Answer 5

Mi respuesta es que este es el caso, porque la cruz de producto se define a tener esa propiedad.