Grupo de automorfismo del grupo unitario proyectivo PU (N) y SO (N)

Question

Me gustaría para determinar la automorphism grupo de la proyectiva grupo unitario $G=PU(N)=PSU(N)$ e $G=SO(N)$. También sabíamos que $$ 0 \a \text{Inn}(G) \a \text{Aut}(G) \a \text{Salir}(G) \a 0. $$

Para $G=PU(2)=PSU(2)$, tenemos:

• $\text{Inn}(PU(2)) = PU(2)$,
• $\text{Out}(PU(2)) = 0$,
• Y por lo $\text{Aut}(PU(2))=PU(2)$.

Para $N > 2$, tenemos:

• el centro de $\text{Z}(PU(N)) =0$,
• $\text{Inn}(PU(N)) = PU(N)$,

• No estoy muy seguro de que $\text{Out}(PU(N)) =0 $, $\mathbb Z_2$o los demás? $\text{Out}(PU(N))=?$

• No estoy muy seguro de que $\text{Aut}(PU(N))= PU(N) $o los demás ? $\text{Aut}(PU(N))= ?$

Por ejemplo, $PU(4)=PSU(4)=SU(4)/\mathbb{Z}_4=Spin(6)/\mathbb{Z}_4=SO(6)/\mathbb{Z}_2,$ lo que va a ser $\text{Out}(PU(4))=?$ e $\text{Aut}(PU(4))=?$

• Creo que $\text{Out}(SO(N))=\left\{\begin{array}{l} 0, \text{ if $$ N es impar} \\ \mathbb{Z}_2, \text{ si $N$ es incluso} \end{array}\right. ?$

• Sospecho que $\text{Aut}(SO(N))= \left\{\begin{array}{l} SO(N), \text{ if $$ N es impar} \\ O(N), \text{ si $N$ es incluso} \end{array}\right. $ ?

Te gustaría ser capaz de responder a estas? Gracias.

Explícito respuestas deben ser incluidas en el fin de ser aceptado y obtener la recompensa.

Answer 1

Creo que la mayoría de la respuesta está en su MathOverflow post, que debe enlace.

Cualquier automorphism de una Mentira grupo $G$ induce una Mentira álgebra automorphism en la Mentira de álgebra $\mathfrak g$. Por otra parte, un compacto de Lie del grupo de $G$ es generado por la imagen de un pequeño barrio de la identidad en $\mathfrak g$ bajo la exponencial mapa, de modo que la tangente mapa $$\mathrm{Aut }\, G \to \mathrm{Aut}\, \mathfrak g$$ is injective. In fact, if $G$ is simply-connected, then this map is bijective, as mentioned in the comments to your MO question. I believe that you already know the automorphisms of the Lie algebra, so if $\pi\colon\tilde G \G$ is the universal cover, you know $\mathrm{Aut}\,\tilde G$ así.

A partir de la inyectividad de la tangente mapa, por lo que esperan ser capaces de identificar a $\mathrm{Aut }\, G$ con un subgrupo de $\mathrm{Aut}\, \tilde G$ que tiene la misma tangente de la información (y, en particular, se ve el mismo cerca de la identidad, $\pi$ ser finito sábana que cubre. Si escribimos $K = \ker \pi$, por lo que $G = \tilde G/K$, entonces a (continua) automorphism $\tilde \phi$ de $\tilde G$ va a inducir una bien definida automorphism $\phi$ de $G$ por $\phi(gK) := \tilde\phi(g)K$ si y sólo si $\tilde\phi(K) = K$. (Por otra parte, desde la $\pi$ es un local bijection cerca de $1 \in \tilde G$, esta es la única opción).

Así, suponiendo que usted entienda $\mathrm{Aut}\, \mathfrak g \cong \mathrm{Aut}\, \tilde G$, lo que sigue es identificar a $\ker(\tilde G \to G)$ y para determinar que automorfismos de conservarlo.

En el caso de la especial grupo unitario, el núcleo es el centro de la $\mathrm{SU}(N)$ (que es el subgrupo de la diagonal de las matrices de $\zeta \cdot I$ para $\zeta$ una $N^{\mathrm{th}}$ raíz de la unidad). Pero el centro de un grupo es conservada por cualquier automorphism.

A la pregunta correspondiente para $\mathrm{SO}(2N)$ puede ser más interesante debido a que el núcleo de la cobertura de mapa de $\mathrm{Spin}(2N) \to \mathrm{SO}(2N)$ no es todo el centro y por lo que hay algo a la izquierda para comprobar.