Problema de estimación de una secuencia con la intuición

Question

A menudo he utilizado la "intuición" para resolver los límites en el infinito. Por ejemplo, si alguien me pregunta qué es: $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac {x^5 + x^3 + x}{x^2} $$

O una secuencia que puede ser representada por dicha función, rápidamente argumentaría que lo único que importa como pasar por números cada vez más altos para $x$ serían los términos con las potencias más altas, y así el límite pasa a ser:

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac {x^5 }{x^2} $$

El numerador crece a un ritmo mucho mayor que el denominador, por lo que la función divergirá a $ + \infty $ . Pero, cuando estaba pasando por un problema de Notas en línea de Paul Mi intuición no fue buena para resolverlo por el libro. El problema es:

$$ \left\{ {\frac{{\ln \left( {n + 2} \right)}}{{\ln \left( {1 + 4n} \right)}}} \right\}_{n = 1}^\infty $$

¿Converge a un valor? Ahora, si usamos la regla de L'Hopital, este es un problema bastante fácil. Converge a $1$ .

$$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\ln ( n + 2 )}{\ln (1 + 4n )} = \mathop \lim \limits_{n \to \infty } \frac{^{1}/_{(n + 2)}}{^{4}/_{(1 + 4n)}} = \mathop \lim \limits_{n \to \infty } \frac{1 + 4n}{4( {n + 2} )} = 1 $$

Pero, como he dicho, a veces me gusta hacerlas por intuición, y lo que hice fue lo siguiente: como $ n $ se acerca al infinito, los enteros " $2$ " y " $1$ " no importará. Así que el límite se convierte en: $$ \lim_{n \to \infty} \frac { \ln(n) }{\ln(4n)} $$

El denominador aumenta a un ritmo mucho más rápido que el numerador, por lo que el límite convergerá a $0$ .

Entiendo que algo falla en mi intuición, y que la intuición probablemente no sea una buena forma de resolver problemas matemáticos -de hecho, el propio tutorial de este problema menciona que la intuición a veces puede llevarnos por el mal camino-, pero me encantaría recabar alguna idea de dónde me estoy equivocando.

Answer 1

Cuando tienes $$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{\ln(4n)},$$ el denominador no lo hace aumentan a un ritmo mucho más rápido que el numerador. De hecho, como tenemos $$(\forall n\in\mathbb N):\ln(4n)=\ln(4)+\ln(n),$$ aumentan en el mismo tasa. Y ahora es fácil ver que el límite es efectivamente $1$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $\ln(4n)=\ln(4)+\ln n$ para que esta función crezca al mismo ritmo que $\ln n$ . En particular $$ \lim_{n\to \infty} \frac{\ln(n)}{\ln(4n)}= \lim_{n\to \infty} \frac{\ln(n)}{\ln(4)+\ln(n)}=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\frac{\ln(4)}{\ln (n)}+1}=1. $$ Ten en cuenta también que tu intuición puede ser formalizada. Si $a_n\sim b_n$ y $c_n\sim d_n$ (donde $\sim$ significa que el cociente de los dos lados es uno), entonces $$ \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{c_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{d_n}. $$