Prueba elemental de la infinitud de números primos en una progresión aritmética de una forma especial

Question

En esta última pregunta el autor de la pregunta estaba buscando una prueba de la existencia de infinitos números primos $p$ tanto $p-2$ e $p+2$ son compuestos. Una muy upvoted respuesta por medio de la lluvia de estrellas el hecho de que todos los números primos de la forma $p=15n+8$ califica. Luego llamó a Dirichlet del teorema de los números primos en una progresión aritmética para llegar a una respuesta afirmativa.

Me gustaría ver un "elemental" en la prueba de la infinitud de los números primos en una progresión aritmética que cabe aquí. Así que generalizar lluvia de estrellas de la receta a la siguiente pregunta:

Hay un ejemplo de un par de enteros $(a,n)$ tal que $\gcd(a-2,n)>1$, $\gcd(a+2,n)>1$, y que hay una primaria de la prueba de la infinitud de los números primos $p\equiv a\pmod n$?

Su definición de "elementary" puede variar. Voy a dejar que algo abierto a propósito, pero al menos nada más elementales de $L$-funciones serán elegibles.

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Esto puede llegar a ser agotadora. No hay escasez de primaria las pruebas de la infinitud de los números primos en una progresión aritmética en nuestro sitio:

• $p\equiv\pm1\pmod4$ (muchos hilos),
• $p\equiv3\pmod8$,
• $p\equiv1\pmod n$,
• $p\equiv7\pmod{12}$.

Sin embargo, esos métodos no funcionan para los fines de mi pregunta. Eso es porque no es una más profunda debido a Murty y Thain, que localmente se conoce aquí, afirmando que un "Euclides estilo de" prueba de la infinitud de los primos $p\equiv a\pmod n$ existe si y sólo si $a^2\equiv1\pmod n$.

Esto descarta Euclides estilo de las pruebas como una opción. Por si $a^2\equiv1\pmod n$, a continuación, $n\mid a^2-1$. Pero, junto con ello, las condiciones de $\gcd(a-2,n)>1$ e $\gcd(a+2,n)>1$ implica que $$1<\gcd((a-2)(a+2),n)=\gcd(a^2-4,n)=\gcd(3,n).$$ Que gcd por lo tanto solo pueden ser $3$, pero es obvio que $3$ no puede ser un factor de $a-2$ e $a+2$.

Así que es necesario algo más! Esto puede ser una tarea difícil, pero estoy preguntando esto en caso de que esto suena una campana.

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"Euclides estilo de" prueba significa más o menos el siguiente: Supongamos que tenemos una exhaustiva (finito) de la lista de números primos $p_1,\ldots,p_k$ en un determinado residuo de la clase. A continuación, un hábilmente elegido polinomio $P$ evaluados en $p_1p_2\cdots p_k$ puede ser demostrado tener un primer factor de este residuo de la clase, pero no es igual a cualquiera de $p_i$. Ergo, debe ser infinitamente muchos de esos números primos. En otras palabras, la imitación de Euclides de la clásica prueba de la infinitud de los números primos.

Answer 1

Podemos utilizar la siguiente instrucción:

Hay una infinidad de números impares, tales como la q, que son la diferencia y también la suma de dos números primos . Claramente uno de estos números primos debe ser de 2:

$at+b=p_1+2$ ⇒ $at+b-2=p_1$

$at+b=p_2-2$ ⇒ $at +b+2=p_2$

La condición necesaria para la primalidad de $p_1$ e $p_2$ es que $a$, $t$ e $(b-2)$ para $p_1$ también $a$, $t$ e $(b+2)$ para $p_2$ no tienen divisores comunes(Legendre - teorema de Dirichlet), y la condición suficiente es que $at+b-2$ e $at+b+2$ debe ser de los números primos. Por ejemplo, para los números de $a=37$ e $b=11$ tenemos:

$p_1=37t+11-2=37t+9$

$p_2=37t+11+2=37t+13$

Ahora para $t=10$ obtenemos $p_1=379$ e $p_2=383$ e $q=383-2=379+2=381$

Ahora podemos construir un número como p tal que:

$$p=kn+a ; k∈N; (n, a+2)=c_1>1; (n, a-2)=c_2>1$$

Para responder a la necesaria condición de n debe ser un múltiplo de factores $a+2$ e $a-2$, también p debe ser impar, por lo $kn$ debe ser par. Por lo tanto la forma de número requerido puede ser de la siguiente manera:

$$p= k.2(q+2)(q-2)+q; k∈N$$

Así que:

$gcd[n=2(q^2-4),(a=q )-2=q-2]>1$

y:

$gcd[n=2(q^2-4),(a=q )+2=q+2]>1$

Por ejemplo, $q=381$:

$p= k (2\times 379 \times 383) +381$

Entre estos infinita de números impares, puede haber un número infinito de números primos. Puede ser la fuerza bruta nos ayudan a encontrar números primos.

Siguiente es demostrar que existen infinitos primos p de la forma anterior. Para un cierto valor de p, la relación del $p= k.2(q+2)(q-2)+q$ puede ser escrito por k En forma de $ak+1$, debido a $p= k.2(q+2)(q-2)+q$ es impar, por lo que es p y podemos escribir:

$$p= k.2(q+2)(q-2)+q=2[(q^2-4).k+(q-1)/2].x+1$$

Que puede ser el primer generador de la forma $(ax+1)$ y debido a Legendre - teorema de Dirichlet puede dar infinidad de números primos, o puede ser escrito para t si ponemos $p_1=at+b-2=q-2$ e $p_2=at+b+2=q+2$ en relación $p= k.2(q+2)(q-2)+q$ y encontrar un polinomio cuadrático para t. Por ejemplo, para $q=381$ obtenemos:

$p=2738t^2+(1628k+37)t+234k+11$

Este polinomio se puede generar números primos si no es reducible en Q y también los coeficientes $2738$, $1628k+37$ e $234k+11$ son relativamente primos que es posible para ciertos valores de k.

Aquí están algunos de los números primos construido usando $q=381$ y generador de $p=2kq^2+q-8k$ o $(2q^2-8)k+q$:

($k=3$ → $p=871323$),($k=4$ → $p=1161637$), ($k=10$ → $p=2903521$).