Notación: ¿Qué significa la tilde debajo de la expectativa?

Question

Estoy leyendo sobre codificadores automático-variacionales, y hay la siguiente función de pérdida:

$$l_i(\Theta,\phi) = - {\mathbb{E}}_{z\sim q} \left[\log p_\phi(x_i|z)\right] + KL(q_{\phi}(z_i|x)||p(z))$$

¿Qué significa la notación $z\sim q$ debajo de $\mathbb{E}$? Acabo de ver notaciones como $E(X)$ o $\langle X\rangle$ para el valor esperado, $\mathbb{E}$.

¿Qué significa esta notación en general al usar $\mathbb{E}_{x\sim y}$ para cierto $x$ y cierto $y$?

Answer 1

$z\sim q$ significa que la RV $Z$ está distribuida con respecto a la función $q$, es decir, $q(z)$, donde $q(z)$ es una PDF/PMF válida. Por lo tanto, la esperanza puede desplegarse como (asumiendo que $z$ es continuo) $$\mathbb{E}_{z\sim q}[\log_{\phi}(x_i|z)]=\int_{-\infty}^\infty \log_\phi (x_i|z) q(z) dz$$