Para evaluar…

Question

Sé cómo evaluar $\underset{x \to 1}{\lim} \frac{x^{2019} - 1}{x-1}$ usando la definición del derivado y la regla de poder. Si $f(x) = x^{2019}$ , entonces $$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2019} - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2019} - 1^{2019}}{x-1} = f'(1) = 2019(1)^{2018} = 2019.$ $ asumo que el problema del título es similar, ya que la respuesta es $144$ según Wolfram Alpha, pero no puedo entenderlo.

Edición: quiero saber cómo hacer esto con la definición del derivado, no de L'Hospital.

Answer 1

PS

El producto de los límites es igual al límite del producto siempre que existan ambos límites.

Answer 2

Sugerencia: $$x^{2019}-x^{1875}=(x^{2019}-1)-(x^{1875}-1)$ $

Answer 3

Una solución que solo usa la definición del derivado solamente. Específicamente, considere $$f(x) = x^{a}-x^{b}.$ $ Luego $$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1}\frac{x^a-x^b}{x-1}.$ $ ¿Podría probar $$f'(1) = a-b?$ $

Answer 4

Más generalmente, si $\sum_{k=1}^n a_k = 0 $ entonces $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sum_{k=1}^n a_k x^{b_k}}{x-1} =\sum_{k=1}^n a_kb_k $.

Dos sencillas pruebas.

1) L'Hôpital:

$\lim_{x \to 1} \dfrac{\sum_{k=1}^n a_k x^{b_k}}{x-1} =\lim_{x \to 1} \dfrac{\sum_{k=1}^n a_kb_k x^{b_k-1}}{1} =\sum_{k=1}^n a_kb_k $.

2) Primaria con exponentes enteros positivos:

Desde entonces, si $b$ es un entero positivo, $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^b-1}{x-1} =\lim_{x \to 1} \sum_{j=0}^{b-1} x^j =b $,

$\begin{array}\\ \lim_{x \to 1} \dfrac{\sum_{k=1}^n a_k x^{b_k}}{x-1} &=\lim_{x \to 1} \dfrac{\sum_{k=1}^n a_k (x^{b_k}-1+1)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sum_{k=1}^n a_k (x^{b_k}-1+1)}{x-1}\right)\\ &=\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sum_{k=1}^n a_k (x^{b_k}-1)}{x-1}+\dfrac{\sum_{k=1}^n a_k }{x-1}\right)\\ &=\lim_{x \to 1} \dfrac{\sum_{k=1}^n a_k (x^{b_k}-1)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1} \sum_{k=1}^n \dfrac{a_k (x^{b_k}-1)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1} \sum_{k=1}^n a_k\dfrac{ x^{b_k}-1}{x-1}\\ &= \sum_{k=1}^n a_k\lim_{x \to 1}\dfrac{ x^{b_k}-1}{x-1} \qquad\text{since all the limits exist}\\ &= \sum_{k=1}^n a_kb_k \qquad\text{if all } b_k \text{ are positive integers}\\ \end{array} $

Answer 5

PS

Aplicar para

PS