Con la condición$\lim_{x\to\infty}(f(x+a)−f(x))=0$, ¿cómo probar que$f(x)$ es uniformemente continuo?

Question

Supongamos que $f\in C[0,+\infty)$ , y para todos los $a>0$ , tenemos $$\lim_{x\to\infty}(f(x+a)−f(x))=0.$ $ Demuestre que $f(x)$ es uniformemente continuo.

Una sugerencia es que podemos usar el teorema de la categoría de Baire, pero todavía no sé cómo usarlo. Tal vez haya otra forma de responder a esta pregunta, no estoy seguro. Esperando tu respuesta.

Answer 1

Fix $\epsilon>0$. Queremos encontrar a $\delta>0$ tales que

$$|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$

Para cada $N\in \Bbb N$, vamos a $E_N=\{a\mid x\geq N\Rightarrow |f(x+a)-f(x)|\leq\epsilon/4\}$. $E_N$ es cerrado (por la continuidad de la $f$) y $\bigcup_{N\in\Bbb N} E_N=[0,\infty)$. Por Categoría de Baire Teorema de, al menos uno de ellos, dicen, $E_N$ contiene un intervalo cerrado $[b,c]$. Para $x,y\geq N+c$, sin pérdida de generalidad, decir $y\geq x$si $|y-x|<c-b$, existe siempre $z\geq N$ tal que $[x,y]\subset[z+b,z+c]$. A continuación, $|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(z)|+|f(y)-f(z)|=|f(z+d)-f(z)|+|f(z+e)-f(z)|\le \epsilon/2$ donde $d,e\in [b,c]$. Para $x,y\le N+c$, $[0,N+c]$ es compacto, $f $ restringido a $[0,N+c]$ es uniformemente continua, por lo tanto, no existe $\delta'>0$ satisfing los requisitos establecidos en el presupuesto de caja. Deje $\delta=\min(c-b,\delta')$, hemos terminado.