El primero establece que si $E/ \mathbf Q$ es una curva elíptica, entonces $E( \mathbf Q)$ es un grupo abeliano generado finamente.
Si $K/ \mathbf Q$ es un campo de números, el teorema de Dirichlet dice (entre otras cosas) que el grupo de unidades $ \mathcal O_K^ \times $ se genera de forma finita.
La prueba del teorema de Mordell y la prueba del teorema de Dirichlet son algo similares (un cálculo de covolumen en un caso, y lo que a mí me parece que limita un covolumen en el otro).
¿Cómo pueden estos dos objetos ser realizados como instancias de la misma construcción? ¿Podría hacerse tan bien como para reducir la prueba de los teoremas de Mordell-Weil y Dirichlet a una sola prueba?
En la correspondencia entre la fórmula del número de clase y la fórmula conjeturada para el término principal de $L(E/ \mathbf Q, s)$ parece que $ \mathcal O_K^ \times $ realmente juega el papel de $E( \mathbf Q)$ (regulador corresponde a regulador, torsión a torsión). Desde mi punto de vista, la creencia general es que estos dos objetos son análogos. Pero me resulta difícil ponerlos en el mismo nivel.
De hecho, hay una generalización de la conjetura de Birch & Swinnerton-Dyer a cualquier variedad abeliana sobre $ \mathbf Q$ pero en este caso la conjetura del término principal de la $L$ -La función es simétrica en $A$ y $ \breve {A}$ (donde $ \breve {A}$ es la variedad dual abeliana). Esta conjetura degenera en la conjetura BSD en el caso de una curva elíptica, que es auto-dual.
Pero $ \mathcal O^ \times $ no es una variedad abeliana. En el mejor de los casos, $ \mathcal O_K^ \times $ puede pensarse como el $ \mathcal O_K$ -puntos valorados del esquema de grupo $ \mathbf G_m = \text {Spec }( \mathbf Z[x,y]/(xy-1))$ . Pero..: (1), $ \mathbf G_m$ no es una variedad abeliana sobre ningún campo, y (2), estamos mirando sus puntos en el anillo de números enteros de un campo numérico, en lugar de en un campo. Así que, ¿por qué deberíamos esperar que sea lo mismo que $E( \mathbf Q)$ ?
O, tal vez $E( \mathbf Q)$ y $ \mathcal O_K^ \times $ los objetos equivocados para tratar de compararlos?
