Deje $n>2$. Definir $f:M_n(\mathbb{C})\to\mathbb{R}$ con $f(X)=\operatorname{Re}\left(\det(X^*)\prod_{k=1}^nx_{kk}\right)$.
Tenga en cuenta que $f(X) = f(X^T) = f(\overline{X}) = f(X^*) = f(PXP^T) = f(XD)$ por cada permutación de la matriz $P$ y diagonal unitaria de la matriz $D$.
La función de $f$ es continua y por lo tanto obtiene su mínimo en el conjunto de matrices unitarias. Deje $U$ ser una matriz para que mínimo $m=f(U)<0$ es alcanzado. Podemos suponer $u_{kk} > 0$, de lo contrario, se nota que la $f(U)<0$ implica elementos de la diagonal son cero y podemos multiplicar cada columna $k$ con $|u_{kk}|/u_{kk}$ a lograr nuestra suposición. Deje $\zeta=-\det{U^*}$ y tenga en cuenta que $f(U)<0$ implica $\operatorname{Re}(\zeta)>0$.
Vamos a mostrar que $U$ es también un Hermitian de la matriz. Para obtener la relación entre la diagonal de elementos que se explota el hecho de que $f(UQ)\geq f(U)$ por cada unitaria $Q$.
Deje $i,j\in\{1,\ldots,n\}$, $i\neq j$ ser arbitraria. Para estos $i$ e $j$ definimos una matriz unitaria $Q(\varphi)$ como una matriz obtenida a partir de la identidad mediante la sustitución de submatriz en la intersección de filas y columnas $i$ e $j$con
$$\begin{bmatrix}1&0\\0&\xi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\\sin\varphi & \cos\varphi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&\overline{\xi}\end{bmatrix}\,,$$
donde $\xi$ es unimodular número tal que $u_{ij}\xi=|u_{ij}|$.
Tomamos nota de que $\det(UQ(\varphi))=\det(U)$ y que la diagonal de $U$ e $UQ(\varphi)$ sólo se diferencian en las posiciones de $(i,i)$ e $(j,j)$.
Ahora, podemos definir la función de $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $g(\varphi)=f(UQ(\varphi))$.
Utilizando los resultados anteriores, tenemos
\begin{align}
g(\varphi) &=f(UQ(\varphi)) = \operatorname{Re}\left(\det(Q(\varphi)^*U^*)\prod_{k=1}^n[UQ(\varphi)]_{kk}\right)\\
&= \operatorname{Re}\left(\det(U^*)\prod_{k=1}^nu_{kk}\cdot\frac{1}{u_{ii}u_{jj}}(u_{ii}\cos\varphi+\xi u_{ij}\sin\varphi)(u_{jj}\cos\varphi-\overline{\xi}u_{ji}\sin\varphi)\right)\\
&= -\left(\prod_{k=1}^nu_{kk}\right)\operatorname{Re}\left(\frac{\zeta}{u_{ii}u_{jj}}(u_{ii}\cos\varphi+\xi u_{ij}\sin\varphi)(u_{jj}\cos\varphi-\overline{\xi}u_{ji}\sin\varphi)\right)\\
&= -\left(\prod_{k=1}^nu_{kk}\right)\left(\cos\varphi+\frac{|u_{ij}|}{u_{ii}}\sin\varphi\right)\left(\operatorname{Re}(\zeta)\cos\varphi-\frac{\operatorname{Re}(\zeta\overline{\xi}u_{ji})}{u_{jj}}\sin\varphi\right)\,.\tag{1}
\end{align}
Mínimo Global de la función de $g$ es obtener siempre el producto de los dos últimos factores en $(1)$ está maximizada. Utilizando trigonométricas, además de fórmulas, podemos mostrar esto sucede para cada $\varphi$satisfactorio
$$2\varphi-\arctan\left(\frac{|u_{ij}|}{u_{ii}}\right)+\arctan\left(\frac{\operatorname{Re}(\zeta\overline{\xi}u_{ji})}{u_{jj}\operatorname{Re}(\zeta)}\right)\in 2\pi\mathbb{Z}\,.\tag{2}$$
Por otro lado, el mínimo global se obtiene por $\varphi=0$, debido a $g(0)=f(U)$. Este e $(2)$ implica que
$$\operatorname{Re}\big((|u_{ij}|u_{jj}-\overline{\xi}u_{ii}u_{ji})\zeta\big)=0\,.$$
Multiplicando el último resultado con $|u_{ij}|u_{jj}$, obtenemos
$$\operatorname{Re}\big((|u_{ij}|^2u_{jj}^2-u_{ii}u_{ij}u_{ji}u_{jj})\zeta\big)=0\,.\tag{3}$$
Repetir este procedimiento con la matriz de $PUP^T$ obtenido a partir de $U$ mediante el intercambio de filas $i$ e $j$ y columnas $i$ e $j$da
$$\operatorname{Re}\big((|u_{ji}|^2u_{ii}^2-u_{ii}u_{ij}u_{ji}u_{jj})\zeta\big)=0\,.\tag{4}$$
Repetir el mismo procedimiento con la matriz de $U^*$da
$$\operatorname{Re}\big((|u_{ji}|^2u_{jj}^2-u_{ii}u_{ij}u_{ji}u_{jj})\overline{\zeta}\big)=0\,.\tag{5}$$
Restamos $(3)$ de $(4)$ obtener $|u_{ij}|u_{jj}=|u_{ji}|u_{ii}$.
A partir de aquí, se deduce que
$$u_{ji}=\overline{u_{ij}}u_{jj}u_{ii}^{-1}\rho_{ij}\,,\tag{6}$$
para algunos $\rho_{ij}$ tal que $|\rho_{ij}|=1$.
El uso de $(6)$ nos muestran que todos los elementos de la diagonal de a$U$ son iguales. Si es necesario, podemos simétricamente permutar las filas y columnas de $U$ , de modo que $u_{11}$ es el más grande de la diagonal elemento. Ahora,
$$1 = \sum_{k=1}^n|u_{1k}|^2 = \sum_{k=1}^n|u_{k1}|^2\frac{|u_{11}|^2}{|u_{kk}|^2} \geq\sum_{k=1}^n|u_{k1}|^2=1\,,$$
desde donde nuestro reclamo de la siguiente manera.
La sustitución de $u_{ji}$ en $(3)$ con $(6)$ implica $u_{ij}=0$ o $\operatorname{Re}((1-\rho_{ij})\zeta)=0$. La misma sustitución en $(5)$ implica $u_{ij}=0$ o $\operatorname{Re}((1-\rho_{ij})\overline{\zeta})=0$. Si $u_{ij}\neq0$, resolviendo estas dos ecuaciones para $\rho_{ij}$ muestra que
$$\rho_{ij}\in\{1,\zeta^2\}\cap\{1,(\overline{\zeta})^2\}=\{1\}\,.$$
La última igualdad es cierto, porque la única solución de $\zeta^2=(\overline{\zeta})^2$ satisfacción $\operatorname{Re}(\zeta)>0$ es $\zeta=1$.
Si $u_{ij}=0$, somos libres para tomar $\rho_{ij}=1$.
En cualquier caso,
$$u_{ji}=\overline{u_{ij}}u_{jj}u_{ii}^{-1}\tag{7}\,.$$
Dado que todos los elementos de la diagonal son iguales, $(7)$ implica $U$ es un Hermitian de la matriz.
Ahora sabemos matriz $U$ es unitaria y Hermitian. Por lo tanto, su única autovalores son $\pm1$. De $\operatorname{Re}(\zeta)>0$ e $\det(U)\in\{-1,1\}$ llegamos a la conclusión de que $\det(U)=-1$, y a su vez, de que al menos un autovalor de a$U$ es $-1$.
Ahora,
$$m=f(U)=-\prod_{k=1}^nu_{kk}=-u_{11}^n = -\left(\frac{1}{n}\operatorname{tr}(U)\right)^n \geq -\left(\frac{n-2}{n}\right)^n\,,$$
muestra la conjetura era correcta.
