Para una matriz unitaria$U$, ¿cuál es el valor mínimo de la parte real de$\det(U^*)\prod_i U_{ii}$?

Question

Para un $n$a$n$ unitario de la matriz $U$, ¿cuál es el mínimo valor de la parte real de la $\Delta(U)=\det(U^*)\prod_i U_{ii}$?

Deje $V$ ser el ortogonal de la matriz diagonal con entradas iguales a $1-2/n$ y el resto de las entradas igual a $-2/n$. Esto se consigue $\Delta(V)=-(1-2/n)^n$, que equipo experimentos sugieren es óptimo. Curiosamente, esto significaría que la gran $n$ límite es $-e^{-2}$.

Para $n=2$ el mínimo es de $0$, lo que puede ser probado por escrito $U$ en el formulario $$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ -e^{-i\theta}\bar\beta & e^{-i\theta}\bar\alpha\end{pmatrix}.$$

El valor promedio de $\Delta(U)$ en todo el grupo unitario es $1/n!$. De hecho, para cualquier permutación $\sigma$ con la permutación de la matriz $P_\sigma$, $\Delta_\sigma(U)=(-1)^\sigma\det(U^*)\prod_i U_{i,\sigma(i)}$ es igual a $\Delta(UP_\sigma)$. La suma de $\sum_\sigma \Delta_\sigma(U)$ es igual a $\det(U^*)\det(U)=1$, y cada una de las $\int_{U(n)}\Delta_\sigma(U)dU$ es igual ya que la multiplicación por $P_\sigma$ conserva la medida de Haar.

Answer 1

Tenemos en cuenta el caso real.

$\textbf{Proposition}$. Deje $n>2$ y

$f:U=[u_{i,j}]\in O(n)\mapsto \det(U^T)\Pi_{i=1}^n u_{i,i}$.

Entonces el número mínimo de $f$ es $m=-(1-2/n)^n$.

$\textbf{Proof}$. Desde $O(n)$ es compacto, el límite inferior de $f$ que se alcanza en al menos una matriz de $A=[a_{i,j}]\in O(n)$. Tenga en cuenta que si queremos cambiar una columna de $U\in O(n)$ en su opuesto, entonces el obtenido de la matriz de $U'\in O(n)$ satisface $f(U)=f(U')$.

En consecuencia, podemos suponer que, para cada $i$, $a_{i,i}\geq 0$. Como sabemos, a partir de la OP, que $m\leq -(1-2/n)^n< 0$, podemos deducir que, para cada $i$, $a_{i,i}>0$ e $\det(A)<0$.

A continuación, $-1\in spectrum(A)$ e $\sum_i a_{i,i}=trace(A)\leq n-2$.

En consecuencia, $0<\Pi_i a_{i,i}\leq (\dfrac{n-2}{n})^n$ (fijación de la suma de los $(a_i)$ en $n-2$, el valor máximo del producto se alcanza cuando el $(a_{i,i})$ son iguales)

y hemos terminado. $\square$

Answer 2

Deje $n>2$. Definir $f:M_n(\mathbb{C})\to\mathbb{R}$ con $f(X)=\operatorname{Re}\left(\det(X^*)\prod_{k=1}^nx_{kk}\right)$.

Tenga en cuenta que $f(X) = f(X^T) = f(\overline{X}) = f(X^*) = f(PXP^T) = f(XD)$ por cada permutación de la matriz $P$ y diagonal unitaria de la matriz $D$.

La función de $f$ es continua y por lo tanto obtiene su mínimo en el conjunto de matrices unitarias. Deje $U$ ser una matriz para que mínimo $m=f(U)<0$ es alcanzado. Podemos suponer $u_{kk} > 0$, de lo contrario, se nota que la $f(U)<0$ implica elementos de la diagonal son cero y podemos multiplicar cada columna $k$ con $|u_{kk}|/u_{kk}$ a lograr nuestra suposición. Deje $\zeta=-\det{U^*}$ y tenga en cuenta que $f(U)<0$ implica $\operatorname{Re}(\zeta)>0$.

Vamos a mostrar que $U$ es también un Hermitian de la matriz. Para obtener la relación entre la diagonal de elementos que se explota el hecho de que $f(UQ)\geq f(U)$ por cada unitaria $Q$.

Deje $i,j\in\{1,\ldots,n\}$, $i\neq j$ ser arbitraria. Para estos $i$ e $j$ definimos una matriz unitaria $Q(\varphi)$ como una matriz obtenida a partir de la identidad mediante la sustitución de submatriz en la intersección de filas y columnas $i$ e $j$con $$\begin{bmatrix}1&0\\0&\xi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi\\\sin\varphi & \cos\varphi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&\overline{\xi}\end{bmatrix}\,,$$ donde $\xi$ es unimodular número tal que $u_{ij}\xi=|u_{ij}|$. Tomamos nota de que $\det(UQ(\varphi))=\det(U)$ y que la diagonal de $U$ e $UQ(\varphi)$ sólo se diferencian en las posiciones de $(i,i)$ e $(j,j)$.

Ahora, podemos definir la función de $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $g(\varphi)=f(UQ(\varphi))$. Utilizando los resultados anteriores, tenemos $$\begin{align} g(\varphi) &=f(UQ(\varphi)) = \operatorname{Re}\left(\det(Q(\varphi)^*U^*)\prod_{k=1}^n[UQ(\varphi)]_{kk}\right)\\ &= \operatorname{Re}\left(\det(U^*)\prod_{k=1}^nu_{kk}\cdot\frac{1}{u_{ii}u_{jj}}(u_{ii}\cos\varphi+\xi u_{ij}\sin\varphi)(u_{jj}\cos\varphi-\overline{\xi}u_{ji}\sin\varphi)\right)\\ &= -\left(\prod_{k=1}^nu_{kk}\right)\operatorname{Re}\left(\frac{\zeta}{u_{ii}u_{jj}}(u_{ii}\cos\varphi+\xi u_{ij}\sin\varphi)(u_{jj}\cos\varphi-\overline{\xi}u_{ji}\sin\varphi)\right)\\ &= -\left(\prod_{k=1}^nu_{kk}\right)\left(\cos\varphi+\frac{|u_{ij}|}{u_{ii}}\sin\varphi\right)\left(\operatorname{Re}(\zeta)\cos\varphi-\frac{\operatorname{Re}(\zeta\overline{\xi}u_{ji})}{u_{jj}}\sin\varphi\right)\,.\tag{1} \end{align}$$

Mínimo Global de la función de $g$ es obtener siempre el producto de los dos últimos factores en $(1)$ está maximizada. Utilizando trigonométricas, además de fórmulas, podemos mostrar esto sucede para cada $\varphi$satisfactorio $$2\varphi-\arctan\left(\frac{|u_{ij}|}{u_{ii}}\right)+\arctan\left(\frac{\operatorname{Re}(\zeta\overline{\xi}u_{ji})}{u_{jj}\operatorname{Re}(\zeta)}\right)\in 2\pi\mathbb{Z}\,.\tag{2}$$ Por otro lado, el mínimo global se obtiene por $\varphi=0$, debido a $g(0)=f(U)$. Este e $(2)$ implica que $$\operatorname{Re}\big((|u_{ij}|u_{jj}-\overline{\xi}u_{ii}u_{ji})\zeta\big)=0\,.$$ Multiplicando el último resultado con $|u_{ij}|u_{jj}$, obtenemos $$\operatorname{Re}\big((|u_{ij}|^2u_{jj}^2-u_{ii}u_{ij}u_{ji}u_{jj})\zeta\big)=0\,.\tag{3}$$

Repetir este procedimiento con la matriz de $PUP^T$ obtenido a partir de $U$ mediante el intercambio de filas $i$ e $j$ y columnas $i$ e $j$da $$\operatorname{Re}\big((|u_{ji}|^2u_{ii}^2-u_{ii}u_{ij}u_{ji}u_{jj})\zeta\big)=0\,.\tag{4}$$ Repetir el mismo procedimiento con la matriz de $U^*$da $$\operatorname{Re}\big((|u_{ji}|^2u_{jj}^2-u_{ii}u_{ij}u_{ji}u_{jj})\overline{\zeta}\big)=0\,.\tag{5}$$

Restamos $(3)$ de $(4)$ obtener $|u_{ij}|u_{jj}=|u_{ji}|u_{ii}$. A partir de aquí, se deduce que $$u_{ji}=\overline{u_{ij}}u_{jj}u_{ii}^{-1}\rho_{ij}\,,\tag{6}$$ para algunos $\rho_{ij}$ tal que $|\rho_{ij}|=1$.

El uso de $(6)$ nos muestran que todos los elementos de la diagonal de a$U$ son iguales. Si es necesario, podemos simétricamente permutar las filas y columnas de $U$ , de modo que $u_{11}$ es el más grande de la diagonal elemento. Ahora, $$1 = \sum_{k=1}^n|u_{1k}|^2 = \sum_{k=1}^n|u_{k1}|^2\frac{|u_{11}|^2}{|u_{kk}|^2} \geq\sum_{k=1}^n|u_{k1}|^2=1\,,$$ desde donde nuestro reclamo de la siguiente manera.

La sustitución de $u_{ji}$ en $(3)$ con $(6)$ implica $u_{ij}=0$ o $\operatorname{Re}((1-\rho_{ij})\zeta)=0$. La misma sustitución en $(5)$ implica $u_{ij}=0$ o $\operatorname{Re}((1-\rho_{ij})\overline{\zeta})=0$. Si $u_{ij}\neq0$, resolviendo estas dos ecuaciones para $\rho_{ij}$ muestra que $$\rho_{ij}\in\{1,\zeta^2\}\cap\{1,(\overline{\zeta})^2\}=\{1\}\,.$$ La última igualdad es cierto, porque la única solución de $\zeta^2=(\overline{\zeta})^2$ satisfacción $\operatorname{Re}(\zeta)>0$ es $\zeta=1$. Si $u_{ij}=0$, somos libres para tomar $\rho_{ij}=1$. En cualquier caso, $$u_{ji}=\overline{u_{ij}}u_{jj}u_{ii}^{-1}\tag{7}\,.$$ Dado que todos los elementos de la diagonal son iguales, $(7)$ implica $U$ es un Hermitian de la matriz.

Ahora sabemos matriz $U$ es unitaria y Hermitian. Por lo tanto, su única autovalores son $\pm1$. De $\operatorname{Re}(\zeta)>0$ e $\det(U)\in\{-1,1\}$ llegamos a la conclusión de que $\det(U)=-1$, y a su vez, de que al menos un autovalor de a$U$ es $-1$. Ahora, $$m=f(U)=-\prod_{k=1}^nu_{kk}=-u_{11}^n = -\left(\frac{1}{n}\operatorname{tr}(U)\right)^n \geq -\left(\frac{n-2}{n}\right)^n\,,$$ muestra la conjetura era correcta.