Demostrando que hay un valor propio$\lambda$ para el cual$|\lambda - b_{jj}| < \epsilon \sqrt{n}$

Question

Deje $A$ ser $n\times n$ real simétrica la matriz. Mediante la aplicación de Jacobi de la método, supongamos que se ha generado una matriz ortogonal $R$ y un simétrica matriz $B$ tal que la igualdad

$$B = R^{T}AR $$

sostiene. Por otra parte, supongamos que la desigualdad de $|b_{ij}| < \epsilon$tiene para todos los $i \neq j$.

Demostrar que para cada una de las $j = 1, 2, \ldots, n$, hay al menos una autovalor $\lambda$ de $A$ tal que $|\lambda - b_{jj}| < \epsilon \sqrt{n}$ sostiene.

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Este es un ejercicio que estoy haciendo para estudiar para mi examen final. Así, recientemente he aprendido el método de Jacobi, y sé que los autovalores y autovectores están relacionados con las matrices $B$ e $R$; sin embargo, no tengo idea de cómo utilizar los resultados para demostrar una desigualdad. También tengo ni idea de cómo obtener el $\sqrt{n}$ plazo de allí. Les agradecería mucho cualquier ayuda en este ejercicio.

Gracias

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ACTUALIZACIÓN: Estos son algunos de los teoremas en mi libro que puede ayudar.

Teorema (Teorema de Gerschgorin): Vamos a $n \geq 2$ e $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$. Todos los autovalores de a$A$ mentira en la región de $D = \bigcup_{i=1}^{n} D_{i}$, donde $D_{i}$ son los Gerschgorin discos de $A$.

Definición: (Gerschgorin Disco): Supongamos $n \geq 2$ e $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$. El Gerschgorin discos de $D_{i}$ de la matriz $A$ son definidos por la circular cerrado regiones

$$D_{i} = \{z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \leq R_{i}\}, $$

donde $$ R_{i} = \sum_{j = 1, \\ i \neq j}^{n} |a_{ij}|$$

es el radio de la $D_{i}$.

Teorema (Bauer-Fike): Supongamos $A$ e $E$ son reales simétricas $n\times n$ matrices y $B = A - E$. Supongamos, además, que los autovalores de a$A$ son denotados por $\lambda_{j}, j = 1, 2, 3, \ldots, n$ e $\mu$ es un autovalor de a$B$. Al menos un autovalor de a$\lambda_{j}$ de $A$ satisface $|\lambda_{j} - \mu| \leq ||E||_{2}$, donde $|| \cdot ||_{2}$ indica el $2$-norma de una matriz.

Libro enlace: http://newdoc.nccu.edu.tw/teasyllabus/111648701013/Numerical_Analysis.pdf

El problema es que, a partir del capítulo 5. Se agradecería que la respuesta no utilizar demasiados fuera de los resultados del libro. Supongo que algunos están bien, siempre y cuando ellos no son realmente fuertes resultados que son difíciles de entender.

Answer 1

Los autovalores de una matriz y su similitud transformar son los mismos, por lo que los autovalores de a$A$ e $B$ son los mismos.

A continuación, para cada $j=1,2,\ldots,n$, definir una matriz simétrica $E^{(j)}=(B-b_{jj}I)e_je_j^T+e_je_j^T(B-b_{jj}I)$, donde $e_j$ es $j^\text{th}$ estándar de la base de vectores. Tenemos \begin{equation} (B-E^{(j)})e_j= Be_j - (B-b_{jj}I)e_j+e_je_j^T(B-b_{jj}I) e_j= b_{jj}e_j, \end{equation} desde $e_je_j^TBe_j = e_j(e_j^TBe_j )= b_{jj}e_j.$ Por lo tanto, $b_{jj}$ es un autovalor de a$B-E^{(j)}$, y por lo tanto invocamos Bauer-Fike teorema para demostrar que existe un autovalor $\lambda$ de $B$ tales que \begin{equation} \vert b_{jj}-\lambda\vert\leq \Vert E^{(j)}\Vert = \Vert(B-b_{jj}I)e_j\Vert = \sqrt{\sum_{i=1,i\neq j}^nb_{ij}^2}\leq \sqrt{n-1}\epsilon<\sqrt{n}\epsilon. \end{equation}